Rozkład normalny: kalkulator i tablica dystrybuanty

Jak korzystać z kalkulatora rozkładu normalnego?

1. 1
   Ustaw średnią i odchylenie standardowe

   Dla standardowego rozkładu N(0, 1) zostaw 0 i 1. Jeśli zadanie podaje wariancję, wpisz jej pierwiastek, bo kalkulator pyta o σ, a nie o σ².

2. 2
   Wybierz pole pod krzywą

   „Poniżej” to P(X ≤ x), „Powyżej” to P(X ≥ x), „Między” to P(a ≤ X ≤ b), a „Poza” to oba ogony za granicami a i b.

3. 3
   Wpisz wartość albo przeciągnij znacznik

   Wynik zmienia się przy każdej poprawce. Znacznik na osi wykresu możesz przesuwać palcem albo myszą. W polu z wartością strzałki w górę i w dół zmieniają ją o 0,1σ.

4. 4
   Odczytaj wynik i rozwiązanie

   Na górze jest prawdopodobieństwo jako ułamek i w procentach, a niżej standaryzacja i odczyt z tablicy. Zakładka „Wartość x z prawdopodobieństwa” działa w drugą stronę: podajesz procent, a dostajesz x i z.

Czym jest rozkład normalny?

Rozkład normalny, nazywany też rozkładem Gaussa, to rozkład ciągły, którego wykres gęstości ma kształt dzwonu. Wartości skupiają się wokół średniej, a im dalej od niej, tym rzadziej się zdarzają. Cały rozkład wyznaczają dwie liczby: średnia μ, która ustawia środek krzywej, i odchylenie standardowe σ, które mówi, jak szeroka jest krzywa. Zapisujesz go jako N(μ, σ). Rozkład N(0, 1) to standardowy rozkład normalny.

Przy rozwiązywaniu zadań przydają się te cechy krzywej Gaussa:

• jest symetryczna względem średniej, więc średnia, mediana i dominanta są sobie równe,
• całe pole pod krzywą wynosi 1, a każda połowa 0,5,
• punkty przegięcia leżą w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej, czyli w μ − σ i μ + σ,
• ramiona zbliżają się do osi, ale nigdy jej nie dotykają, więc każda wartość ma niezerową gęstość.

Jak odchylenie standardowe zmienia kształt krzywej

Pole pod krzywą zawsze wynosi 1, więc szersza krzywa musi być niższa. Szczyt leży na wysokości 1 / (σ√2π). Dla σ = 1 to 0,3989, a dla σ = 2 już tylko 0,1995. Zmiana średniej przesuwa krzywą w lewo albo w prawo i nie zmienia jej kształtu.

Reguła trzech sigm (68–95–99,7)

W każdym rozkładzie normalnym w odległości jednego, dwóch i trzech odchyleń standardowych od średniej leży ta sama część wartości, niezależnie od μ i σ:

Poza przedziałem μ ± 3σ leży tylko 0,27% wartości, czyli około 27 na 10 000. Z tego powodu wartości tak dalekie od średniej często traktuje się jako podejrzane, np. jako błąd pomiaru. Sprawdź przedział ±2σ: pole między −2 a 2 w rozkładzie N(0, 1)

Standaryzacja: jak zamienić x na z

Tablice podają wartości tylko dla rozkładu N(0, 1). Żeby policzyć prawdopodobieństwo dla innej średniej i odchylenia, zamieniasz x na wynik standaryzowany z. Mówi on, o ile odchyleń standardowych x leży od średniej.

Po standaryzacji każde pole liczysz z dystrybuanty Φ(z):

Tablica rozkładu normalnego N(0, 1)

Tablica podaje dystrybuantę Φ(z) = P(Z ≤ z) standardowego rozkładu normalnego dla z od 0,00 do 3,99. Wiersz to część całkowita i pierwsza cyfra po przecinku, a kolumna to druga cyfra po przecinku.

Jak odczytać wartość z tablicy

Szukasz Φ(1,96). Znajdź wiersz 1,9 i kolumnę 0,06. Na ich przecięciu jest 0,97500. Oznacza to, że 97,50% pola leży na lewo od z = 1,96.

Dla ujemnego z korzystasz z symetrii: Φ(−z) = 1 − Φ(z), np. Φ(−1,25) = 1 − 0,89435 = 0,10565. Dla z powyżej 3,99 przyjmij Φ(z) ≈ 1, bo już Φ(3,99) = 0,99997.

Gdy liczysz w kalkulatorze, komórka z Twoim wynikiem jest zaznaczona na złoto. Przycisk „Pokaż w tablicy” w rozwiązaniu przewija do niej stronę.

Wartości zaokrąglone do 5 miejsc po przecinku.

Odczyt w drugą stronę: z prawdopodobieństwa do z

Czasem znasz pole i szukasz z, np. takiego, dla którego Φ(z) = 0,95. W tablicy szukasz wtedy wartości najbliższej 0,95: Φ(1,64) = 0,94950 i Φ(1,65) = 0,95053. Szukane z leży między nimi, a dokładnie wynosi 1,6449. W kalkulatorze wybierz zakładkę „Wartość x z prawdopodobieństwa”. Sprawdź z dla 0,95: kwantyl rzędu 0,95

Najczęściej używane wartości z

Te same wartości z wracają w przedziałach ufności i testach statystycznych. Wartość dwustronna odcina po połowie reszty pola z każdej strony, a jednostronna całą resztę z jednej strony.

Stąd bierze się liczba 1,96 we wzorze na 95-procentowy przedział ufności dla średniej przy znanym odchyleniu: x̄ ± 1,96 · σ / √n. Tak samo liczysz próg dla najlepszych wyników. Żeby znaleźć się w 10% najwyższych wyników testu o średniej 100 i odchyleniu 15, potrzebujesz około 119,2 punktu. Sprawdź 10% najlepszych: próg 10% najwyższych wyników IQ

Gdzie spotkasz rozkład normalny

Błędy pomiaru

Gdy wiele razy mierzysz tę samą wielkość, wyniki zwykle układają się wokół prawdziwej wartości. Ich rozrzut często opisuje się rozkładem normalnym.

Kontrola jakości

Masa, wymiary i inne cechy produktów z jednej linii produkcyjnej. Na kartach kontrolnych Shewharta granice ustawia się zwykle w odległości 3σ od średniej.

Testy i egzaminy

Wyniki wielu testów, np. inteligencji, przelicza się na skalę o ustalonej średniej i odchyleniu standardowym, żeby wynik mówił, jak wypadasz na tle innych.

Statystyka

Średnia z dużej próby ma rozkład bliski normalnemu, nawet gdy same dane takiego rozkładu nie mają. Mówi o tym centralne twierdzenie graniczne i na nim opiera się wiele testów i przedziałów ufności.

Finanse

Stopy zwrotu bywają modelowane rozkładem normalnym. Rzeczywiste dane częściej niż ten model pokazują duże spadki i wzrosty, więc wynik takiego modelu traktuj ostrożnie.

Jeśli masz surowe dane i nie znasz jeszcze średniej ani odchylenia, policz je najpierw w kalkulatorze statystycznym. Pokaże on też skośność i kurtozę, które pomagają ocenić, czy dane są bliskie rozkładowi normalnemu.

Najczęściej zadawane pytania