Kalkulator pochodnych

Pochodna funkcji, wartość w punkcie, styczna i wykres

Funkcja

Potęgę zapisz znakiem ^, a mnożenie gwiazdką albo je pomiń (2x). Funkcje: sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, ln, log, sqrt oraz e^x.

Zmienna

Rząd pochodnej

Punkt (opcjonalnie)

Przykłady

Pochodna

Zastosowane reguły

f(x) f′(x)

Umieść to narzędzie u siebie: pobierz kod

Wpisz funkcję, np. x^3 + 2x^2 + sin(x), a kalkulator poda jej pochodną i narysuje wykres funkcji razem z pochodną. Możesz wybrać pochodną do piątego rzędu.

Gdy podasz punkt, zobaczysz wartość pochodnej i równanie stycznej do wykresu. Kalkulator pokazuje też, jakie reguły różniczkowania zadziałały, więc możesz sprawdzić własne rozwiązanie.

Jak korzystać z kalkulatora pochodnych?

1
Wpisz funkcję
Pisz tak jak w zeszycie, w jednej linii. Potęgę zapisz znakiem ^, a mnożenie gwiazdką albo je pomiń, np. 2x. Pod polem od razu zobaczysz, jak kalkulator odczytał zapis.
2
Ustaw rząd, zmienną i punkt
Rząd pochodnej to liczba od 1 do 5. Punkt jest opcjonalny. Możesz wpisać liczbę albo proste wyrażenie, np. pi/2.
3
Odczytaj wynik
Pochodna pojawia się od razu pod formularzem. Obok jest wykres: pochodna na złoto, funkcja na granatowo, a styczna przerywaną linią.

Czym jest pochodna funkcji?

Pochodna mierzy, jak szybko zmienia się wartość funkcji, gdy argument rośnie o bardzo mało. Formalnie to granica ilorazu różnicowego:

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Na wykresie pochodna w punkcie to nachylenie stycznej. Gdy jest dodatnia, funkcja rośnie, a gdy ujemna, maleje. Gdy wynosi zero, styczna jest pozioma i w tym miejscu może być maksimum, minimum albo punkt przegięcia.

W fizyce pochodna drogi względem czasu to prędkość, a pochodna prędkości to przyspieszenie. W ten sam sposób opisujesz tempo zmiany temperatury, kosztów czy stężenia substancji.

Podstawowe reguły różniczkowania

Reguły różniczkowania ze wzorami i przykładami
Reguła	Wzór	Przykład
Stała	$(c)' = 0$	$(7)' = 0$
Potęga	$(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$	$(x^5)' = 5x^4$
Stały czynnik	$(c \cdot f)' = c \cdot f'$	$(4x^3)' = 12x^2$
Suma i różnica	$(f \pm g)' = f' \pm g'$	$(x^2 + x)' = 2x + 1$
Iloczyn	$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$	$(x \sin x)' = \sin x + x \cos x$
Iloraz	$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' g - f g'}{g^2}$	$\left(\frac{x}{x^2+1}\right)' = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$
Funkcja złożona	$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$	$(\sin(x^2))' = 2x \cos(x^2)$

Pochodne funkcji elementarnych

Pochodne podstawowych funkcji
Funkcja f(x)	Pochodna f′(x)	Uwagi
$x^n$	$n \cdot x^{n-1}$	wykładnik n może być dowolny
$\sin x$	$\cos x$	argument w radianach
$\cos x$	$-\sin x$	zmienia się znak
$\operatorname{tg} x$	$\frac{1}{\cos^2 x}$	dla x, w których cos x ≠ 0
$\operatorname{ctg} x$	$-\frac{1}{\sin^2 x}$	dla x, w których sin x ≠ 0
$e^x$	$e^x$	pochodna jest równa samej funkcji
$a^x$	$a^x \cdot \ln a$	dla a > 0
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	dla x > 0
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	dla x > 0
$\operatorname{arctg} x$	$\frac{1}{1+x^2}$	dla każdego x

Przykład: ekstrema funkcji f(x) = x³ − 3x + 2

Pochodna pozwala znaleźć najwyższe i najniższe punkty wykresu. Zacznij od pochodnej i sprawdź, gdzie jest równa zeru.

Krok po kroku

Pochodna: f′(x) = 3x² − 3.
Miejsca, w których f′(x) = 0: 3x² − 3 = 0, czyli x = −1 albo x = 1.
Druga pochodna: f″(x) = 6x. Dla x = −1 wynosi −6, więc jest tam maksimum. Dla x = 1 wynosi 6, więc jest tam minimum.
Wartości w tych punktach: f(−1) = 4 i f(1) = 0.

Wpisz ten przykład do kalkulatora

Przykłady do wypróbowania

Przykładowe funkcje z ich pochodnymi
Funkcja	Pochodna	Kalkulator
x³ + 2x²	$3x^2 + 4x$	Wpisz do kalkulatora
sin x · cos x	$\cos^2 x - \sin^2 x$	Wpisz do kalkulatora
eˣ + ln x	$e^x + \frac{1}{x}$	Wpisz do kalkulatora
x² · sin x	$2x \sin x + x^2 \cos x$	Wpisz do kalkulatora
√x	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	Wpisz do kalkulatora
(x² + 1)³	$6x(x^2+1)^2$	Wpisz do kalkulatora
x / (x² + 1)	$\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$	Wpisz do kalkulatora

Do czego służą pochodne?

Ekstrema i przebieg funkcji. Zerowanie się pochodnej wskazuje kandydatów na maksimum i minimum, a jej znak mówi, gdzie funkcja rośnie, a gdzie maleje. Druga pochodna pokazuje, czy wykres jest wypukły, czy wklęsły.

Fizyka i technika. Prędkość to pochodna drogi, przyspieszenie to pochodna prędkości, a trzecia pochodna drogi opisuje, jak gwałtownie zmienia się przyspieszenie (zryw).

Ekonomia. Koszt krańcowy to pochodna kosztu całkowitego względem wielkości produkcji. Zysk jest największy tam, gdzie pochodna zysku zmienia znak z dodatniego na ujemny.

Uczenie maszynowe. Algorytmy uczenia szukają minimum funkcji błędu, idąc w kierunku, w którym pochodna maleje.

Czego kalkulator nie robi

Kalkulator liczy pochodne funkcji jednej zmiennej. Nie liczy pochodnych cząstkowych ani całek. Pokazuje reguły, które zadziałały, ale nie rozpisuje każdego kroku rachunku. Wynik jest uproszczony automatycznie, więc może wyglądać inaczej niż w zeszycie, np. 2x(x² + 1) zamiast 2x³ + 2x. Obie postacie są równoważne.

Wykres obejmuje dwadzieścia jednostek wokół punktu, który wpiszesz, a bez punktu wokół zera. Tam, gdzie funkcja nie jest określona, np. ln x dla x ≤ 0, linia się urywa.

Najczęściej zadawane pytania

Co to jest pochodna funkcji?

Pochodna funkcji mówi, jak szybko zmienia się jej wartość, gdy argument rośnie. Na wykresie to nachylenie stycznej w danym punkcie. Dodatnia pochodna oznacza, że funkcja rośnie, ujemna, że maleje, a zerowa, że wykres jest w tym miejscu poziomy.

Jak obliczyć pochodną wielomianu?

Dla każdego wyrazu axⁿ pomnóż współczynnik przez wykładnik i zmniejsz wykładnik o 1, czyli (axⁿ)′ = n·a·xⁿ⁻¹. Stałe znikają, bo ich pochodna to 0. Na przykład pochodna 3x⁴ + 2x² − 5x + 1 to 12x³ + 4x − 5.

Co to jest reguła łańcuchowa?

Reguła łańcuchowa pozwala różniczkować funkcję złożoną f(g(x)). Pochodna to f′(g(x)) · g′(x): pochodna funkcji zewnętrznej, policzona w funkcji wewnętrznej, razy pochodna funkcji wewnętrznej. Na przykład pochodna sin(x²) to cos(x²) · 2x.

Do czego służą pochodne wyższych rzędów?

Druga pochodna mówi, czy wykres jest wypukły, czy wklęsły, a w fizyce odpowiada przyspieszeniu. Trzecia opisuje zmianę przyspieszenia. Pochodne wyższych rzędów występują też we wzorze Taylora, który przybliża funkcję wielomianem.

Jak sprawdzić, czy funkcja ma maksimum albo minimum?

Znajdź punkty, w których pochodna jest równa 0. Jeśli w takim punkcie druga pochodna jest dodatnia, funkcja ma minimum lokalne, a jeśli ujemna, maksimum lokalne. Gdy druga pochodna też jest zerowa, trzeba sprawdzić znak pochodnej po obu stronach punktu.

Jak zapisać funkcję w kalkulatorze pochodnych?

Pisz tak jak w zeszycie, tylko w jednej linii. Potęgę zapisz znakiem ^, na przykład x^3. Znak mnożenia możesz pominąć: 2x znaczy to samo co 2*x. Funkcje wpisuj jako sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x), arcsin(x), arccos(x), arctg(x), ln(x), log(x) i sqrt(x), a liczbę e jako e^x.