+
×
÷
=
reklama

Kalkulator modulo - obliczanie reszty z dzielenia online

Kalkulator modulo

mod
=
5
Popularne dzielniki:

Jak to działa?

Operacja modulo (a mod b) zwraca resztę z dzielenia liczby a przez liczbę b.
a mod b = r, gdzie r to reszta z dzielenia a przez b Na przykład: 17 mod 5 = 2, ponieważ 17 ÷ 5 = 3 z resztą 2.

Umieść to narzędzie u siebie: pobierz kod

Kalkulator modulo to narzędzie online do szybkiego obliczania reszt z dzielenia (operacji modulo). Dzięki niemu natychmiast obliczysz wartość wyrażenia a mod b dla dowolnych liczb. Niezależnie od tego, czy potrzebujesz sprawdzić podzielność, rozwiązać zadanie matematyczne czy obliczyć algorytm kryptograficzny - nasz kalkulator dostarczy precyzyjnych wyników w ułamku sekundy.

Wystarczy wprowadzić dwie liczby: dzielną (a) i dzielnik (b), a wynik operacji modulo pojawi się natychmiast. Możesz również dostosować dokładność wyświetlania wyniku i korzystać z predefiniowanych wartości dla najczęściej używanych dzielników.

Jak korzystać z kalkulatora modulo?

Proste kroki obliczania modulo

  1. Wprowadź pierwszą liczbę (a) - dzielną
  2. Wprowadź drugą liczbę (b) - dzielnik (musi być większy od 0)
  3. Otrzymaj natychmiastowy wynik operacji modulo

Możesz również kliknąć jeden z przycisków z popularnymi dzielnikami, aby szybko wykonać obliczenia.

Co oznacza wynik operacji modulo?

Wynik operacji modulo (a mod b) to reszta z dzielenia liczby a przez liczbę b.

Przykład 1: 17 mod 5 = 2, ponieważ 17 ÷ 5 = 3 z resztą 2
Przykład 2: 25 mod 5 = 0, ponieważ 25 ÷ 5 = 5 bez reszty
Przykład 3: 7.5 mod 2 = 1.5, ponieważ 7.5 ÷ 2 = 3 z resztą 1.5

Zrozumieć operację modulo - kluczowe informacje

Definicja operacji modulo

Dla liczb a i b, gdzie b ≠ 0, operacja modulo (zapisywana jako a mod b) definiowana jest jako reszta z dzielenia a przez b.

Matematycznie można to zapisać jako:

a mod b = a - b × ⌊a/b⌋

gdzie ⌊a/b⌋ oznacza zaokrąglenie w dół wyniku dzielenia a przez b (tzw. floor division).

Innymi słowy, jeśli wykonamy dzielenie całkowite a ÷ b = q z resztą r, to a mod b = r, przy czym a = b × q + r, gdzie 0 ≤ r < b.

Właściwości operacji modulo

Podstawowe właściwości

  • Dla dodatnich dzielników: Wynik zawsze należy do przedziału [0, b-1]
  • Periodyczność: (a + b) mod b = a mod b
  • Modulo z zera: 0 mod b = 0 (dla dowolnego niezerowego b)

Reguły operacyjne

  • Suma: (a + c) mod b = ((a mod b) + (c mod b)) mod b
  • Różnica: (a - c) mod b = ((a mod b) - (c mod b)) mod b
  • Iloczyn: (a × c) mod b = ((a mod b) × (c mod b)) mod b

Zastosowania operacji modulo

W matematyce i informatyce

  • Teoria liczb: badanie podzielności, kongruencje modulo
  • Kryptografia: RSA, klucze publiczne, funkcje skrótu
  • Struktury danych: tablice haszujące, indeksowanie cykliczne
  • Algorytmy: algorytm Euklidesa do wyznaczania NWD, arytmetyka zegarowa

W życiu codziennym

  • Zegar 12/24-godzinny: działanie na godzinach to operacje modulo 12 lub 24
  • Kalendarze: wyznaczanie dni tygodnia (modulo 7)
  • Sprawdzanie parzystości: liczba mod 2 = 0 dla liczb parzystych
  • Kontrola cyfr: numery kart kredytowych, kody kreskowe, PESEL

Przykłady zastosowań modulo w praktyce

Zastosowanie Operacja modulo Przykład
Godzina za 8 godzin (aktualna_godzina + 8) mod 24 (18 + 8) mod 24 = 2 (rano)
Dzień tygodnia za 10 dni (aktualny_dzień + 10) mod 7 Jeśli dziś środa (3), to (3 + 10) mod 7 = 6 (sobota)
Powtarzanie co n elementów indeks mod n Kolorowanie wierszy tabeli: indeks mod 2 (0=biały, 1=szary)
Sprawdzanie podzielności liczba mod dzielnik = 0 125 mod 5 = 0 (125 jest podzielne przez 5)
Haszing w tablicach hash_klucza mod rozmiar_tablicy hash("abc") mod 10 = 7 (indeks w tablicy)

Podsumowanie

Kalkulator modulo to nieocenione narzędzie dla uczniów, studentów, programistów i entuzjastów matematyki. Dzięki niemu możesz:

  • Błyskawicznie obliczać reszty z dzielenia dowolnych liczb
  • Weryfikować podzielność liczb
  • Rozwiązywać problemy z arytmetyką modularną
  • Wspierać praktyczne obliczenia w programowaniu i kryptografii

Operacja modulo, choć koncepcyjnie prosta, jest fundamentalnym narzędziem matematycznym o szerokim zastosowaniu w informatyce, kryptografii i codziennym życiu. Nasz kalkulator modulo sprawia, że wykonywanie tych obliczeń jest szybkie, precyzyjne i dostępne dla każdego.