Kalkulator NWD - największy wspólny dzielnik

Kalkulator NWD

Największy wspólny dzielnik i NWW z rozwiązaniem

Liczby

Liczby naturalne do 12 cyfr, od 2 do 6 naraz.

Przykłady

NWD

–

Wpisz co najmniej dwie liczby.

Skrócony ułamek: –
NWW: –
Sprawdzenie: –

Jak to policzyć

Umieść to narzędzie u siebie: pobierz kod

Największy wspólny dzielnik (NWD) to największa liczba, przez którą każda z podanych liczb dzieli się bez reszty. Dla 12 i 18 jest to 6.

Kalkulator policzy NWD od dwóch do sześciu liczb, poda ich NWW, skróci ułamek i pokaże rozwiązanie trzema metodami. Wybierz tę, którą znasz ze szkoły, i sprawdź swoje obliczenia.

Jak obliczyć NWD: trzy metody

Każda metoda daje ten sam wynik. Wypisywanie dzielników jest najprostsze, a algorytm Euklidesa najszybszy przy dużych liczbach.

Wypisywanie dzielników

12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 · 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Wypisujesz wszystkie dzielniki obu liczb i wybierasz największy wspólny. Tutaj wspólne są 1, 2, 3 i 6, więc NWD = 6.

Sprawdź w kalkulatorze

Rozkład na czynniki pierwsze

12 = 2² × 3 · 18 = 2 × 3², więc NWD = 2 × 3 = 6

Rozkładasz liczby na czynniki pierwsze i bierzesz tylko te wspólne, każdy w najniższej potędze, w jakiej występuje.

Sprawdź na 126 i 72

Algorytm Euklidesa

48 = 18 × 2 + 12 · 18 = 12 × 1 + 6 · 12 = 6 × 2 + 0

Dzielisz większą liczbę przez mniejszą z resztą, potem dzielnik przez resztę, aż reszta wyniesie 0. Ostatni dzielnik to NWD, tutaj 6. Starsza wersja zamiast dzielenia odejmuje mniejszą liczbę od większej, ale potrzebuje więcej kroków.

Zobacz kroki w kalkulatorze

Przykłady obliczania NWD

Przykłady NWD i NWW wybranych liczb
Liczby	NWD	NWW	Skrócony ułamek	Kalkulator
12 i 18	6	36	12/18 = 2/3	Przelicz: NWD 12 i 18
48 i 18	6	144	48/18 = 8/3	Przelicz: NWD 48 i 18
35 i 14	7	70	35/14 = 5/2	Przelicz: NWD 35 i 14
126 i 72	18	504	126/72 = 7/4	Przelicz: NWD 126 i 72
1 i 700	1	700	1/700 (nie da się skrócić)	Przelicz: NWD 1 i 700
17 i 23	1	391	17/23 (nie da się skrócić)	Przelicz: NWD 17 i 23
24, 36 i 60	12	360	–	Przelicz: NWD 24, 36 i 60

Skracanie ułamków przez NWD

Żeby skrócić ułamek do najprostszej postaci za jednym razem, podziel licznik i mianownik przez ich NWD. W ułamku 18/24 NWD(18, 24) = 6, więc 18/24 = 3/4. Gdy NWD wynosi 1, ułamek jest już nieskracalny.

Działania na ułamkach razem ze skracaniem policzysz w kalkulatorze ułamków, który pokazuje też, przez jakie NWD skrócił wynik.

Własności NWD

Związek z NWW: Dla dwóch liczb zawsze NWD(a, b) × NWW(a, b) = a × b. Dla 12 i 18: 6 × 36 = 216 = 12 × 18.
Liczby względnie pierwsze: Gdy NWD wynosi 1, liczby nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, np. 17 i 23 albo 8 i 15.
Jedna liczba dzieli drugą: NWD to wtedy mniejsza z liczb, np. NWD(9, 27) = 9. Szczególny przypadek: NWD liczby i jedynki to zawsze 1.
Więcej niż dwie liczby: Liczysz po kolei: NWD(a, b, c) = NWD(NWD(a, b), c). Dla 24, 36 i 60 wychodzi NWD(12, 60) = 12.

Gdzie przydaje się NWD

Skracanie ułamków: Podzielenie licznika i mianownika przez NWD daje od razu ułamek nieskracalny.
Podział na równe paczki: Masz 24 jabłka i 36 gruszek i chcesz zrobić jak najwięcej jednakowych paczek. NWD(24, 36) = 12, więc zrobisz 12 paczek po 2 jabłka i 3 gruszki.
Największy kwadrat: Prostokąt 48 × 18 cm podzielisz bez odpadów na kwadraty o boku najwyżej NWD(48, 18) = 6 cm. Wyjdzie ich 8 × 3 = 24.
Obliczanie NWW: Ze wzoru NWW(a, b) = a × b ÷ NWD(a, b). Więcej znajdziesz w kalkulatorze NWW.
Matematyka i kryptografia: Równanie ax + by = c ma rozwiązania w liczbach całkowitych tylko wtedy, gdy NWD(a, b) dzieli c. W szyfrowaniu RSA wykładnik publiczny musi być względnie pierwszy z liczbą (p − 1)(q − 1), gdzie p i q to liczby pierwsze tworzące klucz.

Najczęściej zadawane pytania

Czym jest największy wspólny dzielnik (NWD)?

NWD kilku liczb naturalnych to największa liczba, przez którą każda z nich dzieli się bez reszty. NWD(12, 18) = 6, bo dzielniki 12 to 1, 2, 3, 4, 6, 12, dzielniki 18 to 1, 2, 3, 6, 9, 18, a największy wspólny to 6.

Jak obliczyć NWD dwóch liczb?

Najszybciej algorytmem Euklidesa. Podziel większą liczbę przez mniejszą z resztą, potem dziel dzielnik przez resztę i powtarzaj, aż reszta wyniesie 0. Ostatni dzielnik to NWD. Dla 48 i 18: 48 = 18 × 2 + 12, 18 = 12 × 1 + 6, 12 = 6 × 2 + 0, więc NWD = 6.

Jak obliczyć NWD trzech liczb?

Licz po kolei: najpierw NWD dwóch pierwszych liczb, potem NWD tego wyniku i trzeciej liczby. Dla 24, 36 i 60: NWD(24, 36) = 12, a NWD(12, 60) = 12. Kalkulator przyjmie do sześciu liczb naraz.

Jaka jest różnica między NWD a NWW?

NWD to największa liczba, która dzieli obie liczby. NWW to najmniejsza liczba, którą dzielą obie. Dla dwóch liczb NWD(a, b) × NWW(a, b) = a × b, więc znając jedną wartość, drugą obliczysz jednym dzieleniem. Kalkulator pokazuje oba wyniki.

Co to znaczy, że liczby są względnie pierwsze?

Liczby są względnie pierwsze, gdy ich NWD wynosi 1, czyli nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. Nie muszą przy tym być liczbami pierwszymi: 8 i 15 są względnie pierwsze, choć żadna z nich nie jest pierwsza.

Ile wynosi NWD liczby i jedynki?

Zawsze 1, bo jedynka nie ma innych dzielników. NWD(1, 700) = 1. Podobnie, gdy jedna liczba dzieli drugą bez reszty, NWD to ta mniejsza: NWD(9, 27) = 9.

Podsumowanie

NWD najszybciej policzysz algorytmem Euklidesa, który przy dużych liczbach potrzebuje tylko kilku dzieleń z resztą. Wypisywanie dzielników sprawdza się przy małych liczbach, a rozkład na czynniki pierwsze wtedy, gdy liczb jest kilka.

Dwa przypadki rozpoznasz bez liczenia: gdy jedna liczba dzieli drugą, NWD to ta mniejsza, a dla liczb względnie pierwszych NWD wynosi 1.