Kalkulator NWW - najmniejsza wspólna wielokrotność
Kalkulator NWW
Najmniejsza wspólna wielokrotność i NWD z rozwiązaniem
Przykłady
NWW
–
Wpisz co najmniej dwie liczby.
- NWD
- –
- Sprawdzenie
- –
Jak to policzyć
Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) to najmniejsza liczba, która dzieli się bez reszty przez każdą z podanych liczb. Dla 4 i 6 jest to 12: wielokrotności 4 to 4, 8, 12, 16…, a wielokrotności 6 to 6, 12, 18…
Kalkulator policzy NWW od dwóch do sześciu liczb, poda też ich NWD i pokaże rozwiązanie trzema metodami. Wybierz tę, którą znasz ze szkoły, i sprawdź swoje obliczenia.
Jak obliczyć NWW: trzy metody
Każda metoda daje ten sam wynik. Różnią się tylko tym, jak szybko prowadzą do celu przy dużych liczbach.
Wypisywanie wielokrotności
4: 4, 8, 12, 16 · 6: 6, 12, 18
Wypisujesz kolejne wielokrotności obu liczb i szukasz pierwszej wspólnej. Metoda najprostsza do zrozumienia, ale przy dużych liczbach ciągi robią się długie.
Sprawdź w kalkulatorze: NWW 4 i 6Rozkład na czynniki pierwsze
12 = 2² × 3 · 18 = 2 × 3², więc NWW = 2² × 3² = 36
Rozkładasz liczby na czynniki pierwsze i z każdego czynnika bierzesz najwyższą potęgę, w jakiej występuje: 2² z liczby 12 i 3² z liczby 18.
Sprawdź w kalkulatorze: NWW 12 i 18Wzór z NWD
NWW(a, b) = a × b ÷ NWD(a, b)
Najszybsza metoda. NWD wyznaczasz algorytmem Euklidesa w kilku dzieleniach z resztą. Dla 12 i 18: NWD = 6, więc NWW = 216 ÷ 6 = 36.
Zobacz kroki w kalkulatorze: NWW 12 i 18 ze wzoru z NWDPrzykłady obliczania NWW
| Liczby | NWD | NWW | Skąd ten wynik | Kalkulator |
|---|---|---|---|---|
| 4 i 6 | 2 | 12 | pierwsza wspólna wielokrotność 4 i 6 | Przelicz: NWW 4 i 6 |
| 12 i 18 | 6 | 36 | 12 × 18 ÷ 6 = 216 ÷ 6 | Przelicz: NWW 12 i 18 |
| 34 i 170 | 34 | 170 | 170 dzieli się przez 34, więc NWW to większa liczba | Przelicz: NWW 34 i 170 |
| 15 i 25 | 5 | 75 | 15 × 25 ÷ 5 = 375 ÷ 5 | Przelicz: NWW 15 i 25 |
| 7 i 11 | 1 | 77 | liczby względnie pierwsze, więc NWW to iloczyn | Przelicz: NWW 7 i 11 |
| 4, 6 i 10 | 2 | 60 | NWW(4, 6) = 12, a NWW(12, 10) = 60 | Przelicz: NWW 4, 6 i 10 |
Własności NWW
- Związek z NWD
- Dla dwóch liczb zawsze NWW(a, b) × NWD(a, b) = a × b. Znając jedną z tych wartości, drugą obliczysz jednym dzieleniem.
- Liczby względnie pierwsze
- Gdy NWD wynosi 1, NWW jest iloczynem liczb, np. NWW(7, 11) = 77.
- Jedna liczba dzieli drugą
- NWW to wtedy większa z liczb, np. NWW(9, 27) = 27 i NWW(34, 170) = 170.
- Więcej niż dwie liczby
- Liczysz po kolei: NWW(a, b, c) = NWW(NWW(a, b), c). Dla 4, 6 i 10 wychodzi NWW(12, 10) = 60.
Gdzie przydaje się NWW
- Wspólny mianownik
-
Żeby dodać 1/4 i 1/6, bierzesz NWW(4, 6) = 12 i liczysz 3/12 + 2/12 = 5/12. Mianownikiem mógłby być też iloczyn 24, ale wtedy wynik trzeba jeszcze skracać.
Takie działania policzysz w kalkulatorze ułamków, który sam znajduje wspólny mianownik.
- Cykle i rozkłady jazdy
- Dwa cykle o różnej długości spotykają się po czasie równym ich NWW. Autobusy odjeżdżające co 12 i co 18 minut odjadą razem co 36 minut.
- Muzyka
- Gdy w polirytmii jeden głos dzieli odcinek na 3 części, a drugi na 4, oba wracają do punktu wyjścia po 12 częściach.
- Reszty z dzielenia
- Liczby, które z dzielenia przez 4 dają resztę 1, a z dzielenia przez 6 resztę 3, to 9, 21, 33 i dalej. Kolejne różnią się o NWW(4, 6) = 12.
- Informatyka
- W systemach czasu rzeczywistego NWW okresów zadań wyznacza długość cyklu, po którym harmonogram się powtarza: dla zadań co 4 ms i co 6 ms jest to 12 ms. NWW pojawia się też w RSA, gdzie wykładnik prywatny wyznacza się modulo NWW(p − 1, q − 1).
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)?
NWW kilku liczb naturalnych to najmniejsza liczba, która dzieli się bez reszty przez każdą z nich. NWW(4, 6) = 12, bo wielokrotności 4 to 4, 8, 12, 16…, wielokrotności 6 to 6, 12, 18…, a pierwsza wspólna to 12.
Jak obliczyć NWW dwóch liczb?
Najszybciej ze wzoru NWW(a, b) = a × b ÷ NWD(a, b). Dla 12 i 18: NWD wynosi 6, więc NWW = 216 ÷ 6 = 36. Możesz też rozłożyć obie liczby na czynniki pierwsze i wziąć każdy czynnik w najwyższej potędze, w jakiej występuje.
Jak obliczyć NWW trzech liczb?
Licz po kolei: najpierw NWW dwóch pierwszych liczb, potem NWW tego wyniku i trzeciej liczby. Dla 4, 6 i 10: NWW(4, 6) = 12, a NWW(12, 10) = 60. Przy rozkładzie na czynniki bierzesz najwyższe potęgi ze wszystkich trzech liczb: 2² × 3 × 5 = 60. Kalkulator przyjmie do sześciu liczb naraz.
Jaka jest różnica między NWW a NWD?
NWW to najmniejsza liczba, którą dzielą obie liczby. NWD to największa liczba, która dzieli obie. Dla dwóch liczb łączy je zależność NWW(a, b) × NWD(a, b) = a × b, więc znając jedną wartość, drugą obliczysz jednym dzieleniem. Kalkulator pokazuje oba wyniki.
Ile wynosi NWW liczb względnie pierwszych?
Liczby względnie pierwsze nie mają wspólnego dzielnika większego od 1, więc ich NWW to iloczyn. NWW(7, 11) = 77. Wynika to wprost ze wzoru: a × b ÷ 1 = a × b.
Do czego w praktyce służy NWW?
Najczęściej do dodawania i odejmowania ułamków, bo NWW mianowników to najmniejszy wspólny mianownik. Przydaje się też, gdy dwa cykle mają różną długość: autobusy odjeżdżające co 12 i co 18 minut odjadą razem co NWW(12, 18) = 36 minut.
Podsumowanie
NWW najszybciej policzysz ze wzoru NWW(a, b) = a × b ÷ NWD(a, b). Wypisywanie wielokrotności sprawdza się przy małych liczbach, a rozkład na czynniki pierwsze wtedy, gdy liczb jest kilka albo i tak potrzebujesz rozkładu.
Dwa przypadki rozpoznasz bez liczenia: dla liczb względnie pierwszych NWW to ich iloczyn, a gdy jedna liczba dzieli drugą, NWW to ta większa. Drugą stronę tej zależności policzysz w kalkulatorze NWD.