Kalkulator potęg - szybkie obliczenia online
Kalkulator potęg
Dowolna podstawa i dowolny wykładnik
23 =
8
23 = 2 × 2 × 2 = 8
- Zapis naukowy
- 8 × 100
- Liczba cyfr
- 1
Wpisz podstawę i wykładnik, a wynik pojawi się od razu. Kalkulator podnosi do potęg całkowitych, ujemnych i ułamkowych. Pod wynikiem rozpisuje działanie, na przykład 23 = 2 × 2 × 2.
Gdy podstawa jest liczbą całkowitą, a wykładnik naturalny, dostajesz dokładny wynik ze wszystkimi cyframi, nawet bardzo długi. Wyniki bardzo duże i bardzo małe widzisz też w zapisie naukowym.
Jak korzystać z kalkulatora potęg?
- 1 Wpisz podstawę
To duże pole po lewej. Może być ujemna lub dziesiętna, na przykład −2 albo 1,05.
- 2 Wpisz wykładnik
To małe pole u góry, tak jak w zapisie potęgi. Możesz też kliknąć gotowy wykładnik: kwadrat, sześcian, odwrotność albo pierwiastek.
- 3 Odczytaj wynik
Pod wynikiem zobaczysz rozpisane działanie i zapis naukowy. Przy ułamkach możesz ustawić liczbę miejsc po przecinku, od 0 do 10.
Czym jest potęgowanie?
Potęgowanie to skrócony zapis mnożenia liczby przez samą siebie. Liczbę, którą mnożysz, nazywa się podstawą, a liczbę mnożeń wykładnikiem:
an = a × a × … × a (n czynników)
Na przykład 53 = 5 × 5 × 5 = 125. Potęgę drugą nazywa się kwadratem, bo tyle wynosi pole kwadratu o boku a. Potęgę trzecią nazywa się sześcianem, bo tyle wynosi objętość sześcianu o krawędzi a.
Działaniem odwrotnym do potęgowania jest pierwiastkowanie. Gdy szukasz wykładnika, a nie wyniku, potrzebujesz logarytmu.
Przypadki szczególne
| Wykładnik | Reguła | Przykład |
|---|---|---|
| Zero | a0 = 1 (dla a ≠ 0) | 70 = 1 |
| Jeden | a1 = a | 71 = 7 |
| Ujemny | a−n = 1 / an | 4−2 = 1 / 16 = 0,0625 |
| Ułamkowy | a1/n = ⁿ√a | 90,5 = √9 = 3 |
| Parzysty, podstawa ujemna | wynik dodatni | (−2)4 = 16 |
| Nieparzysty, podstawa ujemna | wynik ujemny | (−2)3 = −8 |
Dwa wyrażenia nie mają wyniku w liczbach rzeczywistych: 00 oraz zero do potęgi ujemnej. Nie da się też podnieść liczby ujemnej do potęgi ułamkowej, bo oznaczałoby to pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. W takich sytuacjach kalkulator wyjaśnia, dlaczego nie podaje wyniku.
Działania na potęgach
Te reguły pozwalają uprościć wyrażenie, zanim zaczniesz liczyć. Działają dla każdej podstawy różnej od zera.
| Działanie | Wzór | Przykład |
|---|---|---|
| Mnożenie potęg o tej samej podstawie | am × an = am+n | 23 × 24 = 27 = 128 |
| Dzielenie potęg o tej samej podstawie | am / an = am−n | 35 / 32 = 33 = 27 |
| Potęga potęgi | (am)n = am×n | (23)2 = 26 = 64 |
| Potęga iloczynu | (a × b)n = an × bn | (2 × 5)3 = 8 × 125 = 1000 |
| Potęga ilorazu | (a / b)n = an / bn | (1 / 2)3 = 1 / 8 |
Gdzie przydają się potęgi
Oszczędności i procent składany
10 000 zł na lokacie z oprocentowaniem 5% rocznie, z kapitalizacją raz w roku, po 10 latach urośnie do 10 000 × 1,0510 ≈ 16 288,95 zł (przed podatkiem). Wykładnik to liczba lat. Więcej obliczysz w kalkulatorze procentu składanego.
Informatyka
Komputery liczą w systemie dwójkowym, więc potęgi dwójki są wszędzie. Jeden bajt ma 28 = 256 możliwych wartości, a 210 = 1024 to liczba bajtów w kibibajcie. 64-bitowy licznik pomieści 264 = 18 446 744 073 709 551 616 wartości.
Nauka i zapis naukowy
Bardzo duże i bardzo małe liczby zapisuje się jako potęgi dziesiątki. Prędkość światła to około 3 × 108 m/s, a milionowa część metra to 10−6 m. Kalkulator pokazuje każdy wynik także w tym zapisie.
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest potęgowanie?
To wielokrotne mnożenie liczby przez samą siebie. Zapis an oznacza, że podstawę a mnożysz przez siebie n razy. Na przykład 23 = 2 × 2 × 2 = 8.
Ile wynosi liczba podniesiona do potęgi zerowej?
Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje 1, na przykład 50 = 1 i (−3)0 = 1. Wyrażenie 00 nie ma jednej wartości. W analizie matematycznej traktuje się je jako symbol nieoznaczony, a w niektórych działach matematyki umownie przyjmuje się 00 = 1. Dlatego kalkulator nie podaje dla niego wyniku.
Jak obliczyć potęgę o wykładniku ujemnym?
Odwróć liczbę i podnieś ją do potęgi dodatniej: a−n = 1 / an. Na przykład 4−2 = 1 / 42 = 1 / 16 = 0,0625. Podstawa musi być różna od zera, bo zera nie da się odwrócić.
Jaki znak ma potęga liczby ujemnej?
Zależy od wykładnika. Przy wykładniku parzystym wynik jest dodatni, bo minusy znoszą się parami: (−2)4 = 16. Przy nieparzystym zostaje jeden minus: (−2)3 = −8. Uważaj na nawias: −24 to −(24) = −16.
Jak potęgowanie ma się do pierwiastkowania?
To działania odwrotne. Potęgowanie odpowiada na pytanie, ile to jest 32, czyli 9. Pierwiastkowanie pyta, jaka liczba do kwadratu daje 9, czyli √9 = 3. Pierwiastek n-tego stopnia możesz zapisać jako potęgę 1/n, na przykład √9 = 90,5 = 3.
Czy kalkulator liczy duże potęgi dokładnie?
Tak, gdy podstawa jest liczbą całkowitą, a wykładnik liczbą naturalną. Wtedy wynik ma wszystkie cyfry, do 5000 cyfr. Na przykład 264 = 18 446 744 073 709 551 616. Przy ułamkach kalkulator liczy z dokładnością około 15–16 cyfr znaczących, tak jak większość kalkulatorów.
Podsumowanie
Potęga an to podstawa a pomnożona przez siebie n razy. Wykładnik ujemny oznacza odwrotność, a ułamkowy pierwiastek. Kalkulator liczy każdy z tych przypadków, a dla liczb całkowitych podaje wynik ze wszystkimi cyframi.