Kalkulator kombinacji i permutacji

Kombinacje, wariacje i permutacje

Na ile sposobów możesz wybrać albo ustawić elementy

Co liczysz?

Kombinacje Wariacje Permutacje

Bez powtórzeń Z powtórzeniami

Wybierasz k z n elementów, a kolejność się nie liczy. Na przykład skład drużyny.

Liczba elementów n

Ile wybierasz k

Liczba kombinacji

120

C(10, 3) = 10! / (3! · 7!) = 120

Masz 120 sposobów, żeby wybrać 3 z 10 elementów, gdy kolejność się nie liczy.

Te same n = 10 i k = 3 w innych typach

Kombinacje C(10, 3): 120
Kombinacje z powtórzeniami C'(10, 3): 220
Wariacje V(10, 3): 720
Wariacje z powtórzeniami V'(10, 3): 1 000

Pokaż obliczenia

10! = 3 628 800
3! = 6
7! = 5 040
3 628 800 ÷ (6 · 5 040) = 120

Kalkulator liczy, na ile sposobów możesz wybrać albo ustawić elementy zbioru. Obsługuje kombinacje, wariacje i permutacje, każde z powtórzeniami albo bez.

Wybierz typ, wpisz n i k, a zobaczysz wynik razem ze wzorem i rozpisanymi obliczeniami. Wynik jest dokładny także dla dużych liczb, na przykład 100! ma wszystkie 158 cyfr. Jeśli nie wiesz, którego typu użyć, sprawdź trzy pytania, które to rozstrzygną.

Czym są kombinacje, permutacje i wariacje?

Wszystkie trzy odpowiadają na pytanie „na ile sposobów?”. Różnią się dwiema rzeczami: czy liczy się kolejność i czy ten sam element może pojawić się więcej niż raz.

Kombinacje

Wybierasz k z n elementów. Kolejność się nie liczy i każdy element bierzesz najwyżej raz.

Przykład: Skład delegacji, liczby w Lotto.

C(n, k) = n!k! · (n − k)!

Kolejność: nie liczy się
Powtórzenia: nie

Kombinacje z powtórzeniami

Wybierasz k elementów z n rodzajów, a ten sam rodzaj możesz wziąć kilka razy. Kolejność się nie liczy.

Przykład: Kule z urny z odkładaniem, gałki lodów w kubku.

C'(n, k) = (n + k − 1)!k! · (n − 1)!

Kolejność: nie liczy się
Powtórzenia: tak

Wariacje bez powtórzeń

Wybierasz k z n elementów i ustawiasz je w kolejności. Każdy element bierzesz najwyżej raz.

Przykład: Podium zawodów, prezes i skarbnik wybrani z grupy.

V(n, k) = n!(n − k)!

Kolejność: liczy się
Powtórzenia: nie

Wariacje z powtórzeniami

Wypełniasz k pozycji, a na każdej może stać dowolny z n elementów, także ten sam co wcześniej.

Przykład: Kod PIN, wyniki kolejnych rzutów kostką.

V'(n, k) = n^k

Kolejność: liczy się
Powtórzenia: tak

Permutacje

Ustawiasz w kolejności wszystkie n elementów zbioru. To wariacje, w których k = n.

Przykład: Książki na półce, kolejność startu zawodników.

P(n) = n!

Kolejność: liczy się
Powtórzenia: nie

Permutacje z powtórzeniami

Ustawiasz wszystkie elementy, ale część z nich jest taka sama. Zamiana miejscami dwóch identycznych elementów nie daje nowego ustawienia.

Przykład: Ułożenia liter słowa MAMA.

P = n!n₁! · n₂! · …

Kolejność: liczy się
Powtórzenia: tak

Przykłady obliczeń

Kliknij „Przelicz”, a przykład trafi do kalkulatora razem ze wzorem i obliczeniami.

Przykłady kombinacji, wariacji i permutacji z wynikami
Przykład	Typ	Symbol	Wynik	Kalkulator
3-osobowa delegacja z 5 osób	Kombinacje	C(5, 3)	10	Przelicz: 3-osobowa delegacja z 5 osób
Lotto, 6 liczb z 49	Kombinacje	C(49, 6)	13 983 816	Przelicz: lotto, 6 liczb z 49
3 kule z urny z 5 kolorami, z odkładaniem	Kombinacje z powtórzeniami	C'(5, 3)	35	Przelicz: 3 kule z urny z 5 kolorami, z odkładaniem
Podium w zawodach z 10 uczestnikami	Wariacje	V(10, 3)	720	Przelicz: podium w zawodach z 10 uczestnikami
4-cyfrowy PIN z cyfr 0-9	Wariacje z powtórzeniami	V'(10, 4)	10 000	Przelicz: 4-cyfrowy pin z cyfr 0-9
4 książki na półce	Permutacje	P(4)	24	Przelicz: 4 książki na półce
Ułożenia liter słowa MAMA	Permutacje z powtórzeniami	P(4; 2, 2)	6	Przelicz: ułożenia liter słowa mama

Kiedy używać którego typu?

Odpowiedz po kolei na trzy pytania.

1
Czy kolejność ma znaczenie?
Nie: to kombinacje. Jeśli ten sam element możesz wziąć kilka razy, wybierz kombinacje z powtórzeniami. Tak: przejdź do pytania 2.
2
Czy ustawiasz wszystkie elementy?
Tak: to permutacje, a jeśli część elementów jest taka sama, permutacje z powtórzeniami. Nie: przejdź do pytania 3.
3
Czy elementy mogą się powtarzać?
Nie: to wariacje bez powtórzeń. Tak: to wariacje z powtórzeniami.

Gdzie przydaje się kombinatoryka

Matematyka i statystyka: Rachunek prawdopodobieństwa, analiza kombinatoryczna, teoria mnogości, statystyka matematyczna i badania operacyjne.
Życie codzienne: Loterie i gry losowe, układanie zespołów i harmonogramów, organizacja turniejów, tworzenie haseł i kodów.
Nauka i technika: Genetyka i biologia, kryptografia, algorytmy komputerowe, projektowanie eksperymentów i analiza danych.

Najczęściej zadawane pytania

Czym różnią się kombinacje od permutacji?

W kombinacji wybierasz część elementów ze zbioru i kolejność się nie liczy. W permutacji ustawiasz w kolejności wszystkie elementy zbioru. Przykład: wybór 3 osób do komitetu z grupy 10 to kombinacja, C(10, 3) = 120. Ustawienie tych 10 osób w kolejce to permutacja, P(10) = 3 628 800.

Kiedy stosować wariacje zamiast kombinacji?

Wariacji używasz, gdy wybierasz część elementów i kolejność ma znaczenie. Kombinacji, gdy kolejność nie ma znaczenia. Przykład: 3 miejsca na podium z 10 zawodników to wariacja, V(10, 3) = 720, bo pierwsze miejsce to co innego niż trzecie. 3-osobowa delegacja z 10 osób to kombinacja, C(10, 3) = 120.

Jak obliczyć kombinacje z powtórzeniami?

Wzór to C'(n, k) = (n + k - 1)! / (k! · (n - 1)!). Używasz go, gdy ten sam element możesz wybrać kilka razy, a kolejność się nie liczy. Przykład: wybór 3 kul z urny z kulami w 5 kolorach, z odkładaniem, daje C'(5, 3) = 35 możliwości.

Co to jest silnia i jak wpływa na obliczenia kombinatoryczne?

Silnia n! to iloczyn liczb naturalnych od 1 do n, na przykład 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Z silni zbudowane są wzory kombinatoryczne: C(n, k) = n! / (k! · (n - k)!), P(n) = n! i V(n, k) = n! / (n - k)!. Z definicji 0! = 1. Silnia rośnie bardzo szybko: 20! ma już 19 cyfr.

Ile kombinacji jest w Lotto (6 z 49)?

C(49, 6) = 49! / (6! · 43!) = 13 983 816. Tyle jest różnych zestawów 6 liczb, więc szansa na trafienie szóstki jednym zakładem wynosi 1 do 13 983 816. To kombinacja bez powtórzeń, bo kolejność losowania się nie liczy, a wylosowana kula nie wraca do maszyny.

Podsumowanie

Kombinacje, wariacje i permutacje mówią, na ile sposobów możesz wybrać albo ustawić elementy. O wyborze typu decyduje to, czy liczy się kolejność i czy elementy mogą się powtarzać. Kalkulator poda wynik dla każdego z sześciu typów, pokaże wzór z podstawionymi liczbami i rozpisze obliczenia krok po kroku.