Kalkulator kombinacji i permutacji
Wybierz typ obliczenia i wprowadź dane
Kombinacje: Wybór k elementów z n, gdzie kolejność nie ma znaczenia.
Wynik:
Wzór:
C(10,3) = 10!/(3!×7!)
Szczegóły obliczenia:
n = 10 (liczba wszystkich elementów)
k = 3 (liczba wybieranych elementów)
Obliczenie: 10!/(3!×7!) = 3628800/(6×5040) = 120
Interpretacja:
Istnieje 120 różnych sposobów wyboru 3 elementów z 10-elementowego zbioru, jeśli kolejność nie ma znaczenia.
Kalkulator kombinacji i permutacji to wszechstronne narzędzie do obliczania różnych typów kombinatorycznych. Pozwala szybko obliczyć liczbę kombinacji, permutacji oraz wariacji - zarówno z powtórzeniami, jak i bez.
Wybierz typ obliczenia, wprowadź wartości n i k (jeśli wymagane), a kalkulator natychmiast wyświetli wynik wraz ze wzorem.
Czym są kombinacje, permutacje i wariacje?
Kombinacje
Kombinacja to wybór k elementów z n-elementowego zbioru, gdzie kolejność nie ma znaczenia.
Wzór:
C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!)
Przykład: Wybór 3 osób z grupy 5 - kolejność nie ma znaczenia.
Permutacje
Permutacja to uporządkowanie wszystkich n elementów zbioru, gdzie kolejność ma znaczenie.
Wzór:
P(n) = n!
Przykład: Na ile sposobów można ustawić 5 osób w kolejce.
Wariacje bez powtórzeń
Wariacja to wybór k elementów z n-elementowego zbioru, gdzie kolejność ma znaczenie.
Wzór:
V(n,k) = n! / (n-k)!
Przykład: Wybór 3 zwycięzców (1., 2., 3. miejsce) z 10 zawodników.
Wariacje z powtórzeniami
Wariacja z powtórzeniami to wybór k elementów z n-elementowego zbioru, gdzie element może być wybrany wielokrotnie.
Wzór:
V'(n,k) = n^k
Przykład: Ile 3-cyfrowych kodów można utworzyć z cyfr 0-9.
Przykłady obliczeń
| Typ | n | k | Wynik | Przykład zastosowania |
|---|---|---|---|---|
| Kombinacje | 5 | 3 | 10 | Wybór 3-osobowej delegacji z 5 osób |
| Permutacje | 4 | - | 24 | Ustawienie 4 książek na półce |
| Wariacje bez powtórzeń | 10 | 3 | 720 | Podium (1., 2., 3. miejsce) w zawodach z 10 uczestnikami |
| Wariacje z powtórzeniami | 10 | 4 | 10000 | 4-cyfrowy PIN z cyfr 0-9 |
| Kombinacje | 49 | 6 | 13 983 816 | Liczba możliwych wyników w Lotto (6 z 49) |
Kiedy używać którego typu?
Prosty przewodnik wyboru
Czy kolejność ma znaczenie?
NIE → Użyj kombinacji
TAK → Przejdź do następnego pytania
Czy używasz wszystkich elementów?
TAK → Użyj permutacji
NIE → Przejdź do następnego pytania
Czy elementy mogą się powtarzać?
NIE → Użyj wariacji bez powtórzeń
TAK → Użyj wariacji z powtórzeniami
Zastosowania praktyczne
Matematyka i statystyka
- Rachunek prawdopodobieństwa
- Analiza kombinatoryczna
- Teoria mnogości
- Statystyka matematyczna
- Badania operacyjne
Życie codzienne
- Loterie i gry losowe
- Planowanie zespołów
- Tworzenie haseł i kodów
- Organizacja turniejów
- Układanie harmonogramów
Nauka i technika
- Genetyka i biologia
- Kryptografia
- Algorytmy komputerowe
- Projektowanie eksperymentów
- Analiza danych
Podsumowanie
Kalkulator kombinacji i permutacji to niezbędne narzędzie do rozwiązywania zadań z kombinatoryki. Pozwala szybko obliczyć liczbę możliwych układów, wyborów czy ustawień elementów w zbiorze.
Niezależnie od tego, czy rozwiązujesz zadanie matematyczne, planujesz loterię, czy analizujesz prawdopodobieństwo - nasz kalkulator dostarczy Ci precyzyjnych wyników wraz z wyjaśnieniem użytego wzoru.