reklama

Kalkulator dwumianu Newtona

Dwumian Newtona

Symbol Newtona, czyli n po k

Od 0 do 1000

Nie większa niż n

Znane przykłady

10 po 3 =

120

Z 10 elementów można wybrać 3 na 120 sposobów, gdy kolejność nie ma znaczenia.

Wzór
10! / (3! · 7!)
Symetria
C(10, 7) = 120
Trójkąt Pascala
36 + 84
Rozpisanie obliczeń
Umieść to narzędzie u siebie: pobierz kod

Dwumian Newtona, czyli symbol Newtona, mówi, na ile sposobów możesz wybrać k elementów z n, gdy kolejność nie ma znaczenia. Czytasz go jako n po k.

Wpisz n i k, a kalkulator poda dokładny wynik, także dla n do 1000, oraz rozpisze obliczenia. Wynik możesz sprawdzić sumą z trójkąta Pascala.

Jak korzystać z kalkulatora?

  1. 1
    Wpisz n

    To liczba wszystkich elementów, z których wybierasz. Może być dowolną liczbą całkowitą od 0 do 1000.

  2. 2
    Wpisz k

    To liczba elementów, które wybierasz. Nie może być większa od n. Jeśli tak jest, kalkulator pokaże, co poprawić.

  3. 3
    Odczytaj wynik

    Pod polami zobaczysz wynik, wzór z podstawionymi liczbami i sumę z trójkąta Pascala. Otwórz rozpisanie obliczeń, jeśli chcesz zobaczyć wszystkie kroki.

Czym jest dwumian Newtona?

Dwumian Newtona to liczba różnych podzbiorów k-elementowych w zbiorze n-elementowym. Elementy się nie powtarzają, a kolejność wyboru nie ma znaczenia: wybór osób A i B to ten sam wybór co B i A.

Wykrzyknik oznacza silnię, czyli iloczyn wszystkich liczb całkowitych od 1 do danej liczby. Na przykład 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Dla zera przyjmuje się 0! = 1.

Ten sam wynik ma kilka nazw: współczynnik dwumianowy, symbol Newtona, liczba kombinacji albo n wybierz k. W zapisie tekstowym spotkasz też C(n, k).

Jak obliczyć dwumian Newtona?

Zacznij od wzoru z silniami, a potem skróć to, co się powtarza. Zwykle wystarczy pomnożyć k kolejnych liczb malejących od n i podzielić przez k!. Dzięki temu nie musisz liczyć wielkich silni.

Przykład: C(10, 3)

Na ile sposobów możesz wybrać 3 pytania z 10?

Siedem czynników z 10! skraca się z 7!, więc zostaje tylko 10 · 9 · 8. Wpisz ten przykład do kalkulatora

Kalkulator robi dokładnie to samo. Mnoży kolejne czynniki i po każdym kroku dzieli przez następną liczbę, a obliczenia prowadzi na liczbach całkowitych dowolnej wielkości (BigInt). Dlatego wynik jest dokładny, nawet gdy ma kilkaset cyfr, na przykład dla C(1000, 500).

Przykłady obliczeń

Przykłady dwumianu Newtona z wynikami i interpretacją
n po k Wynik Co to znaczy Kalkulator
5 po 2 10 Wybór 2 osób z grupy 5 osób Wpisz do kalkulatora
10 po 3 120 Wybór 3 pytań z 10 w teście Wpisz do kalkulatora
12 po 5 792 Skład pięcioosobowej drużyny z 12 zawodników Wpisz do kalkulatora
52 po 5 2 598 960 Możliwe układy 5 kart z talii 52 kart Wpisz do kalkulatora
49 po 6 13 983 816 Możliwe wyniki w Lotto 6 z 49 Wpisz do kalkulatora
7 po 0 1 Jest jeden sposób na niewybranie żadnego elementu Wpisz do kalkulatora
6 po 6 1 Jest jeden sposób na wybranie wszystkich elementów Wpisz do kalkulatora

Najważniejsze własności

Własności dwumianu Newtona ze wzorami i przykładami
Własność Wzór Przykład
Brzegi C(n, 0) = C(n, n) = 1 C(8, 0) = C(8, 8) = 1
Symetria C(n, k) = C(n, n − k) C(10, 3) = C(10, 7) = 120
Reguła Pascala C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k) C(10, 3) = 36 + 84
Suma wiersza C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2n 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24

Symetria ma prosty sens: wybranie k elementów to to samo, co wskazanie n − k elementów, które odrzucasz. Reguła Pascala to właśnie sposób, w jaki powstaje trójkąt Pascala. Kalkulator pokazuje tę sumę pod wynikiem, więc masz drugi sposób na sprawdzenie rachunków.

Dwumian Newtona we wzorze na (a + b)n

Nazwa pochodzi stąd, że symbol Newtona daje współczynniki przy rozwijaniu potęgi dwumianu, czyli sumy dwóch składników:

Przykład: (a + b)4

Współczynniki to wiersz 4 trójkąta Pascala: C(4, 0), C(4, 1), C(4, 2), C(4, 3) i C(4, 4), czyli 1, 4, 6, 4, 1.

Dla (a + b)2 dostajesz 1, 2, 1, czyli znany wzór skróconego mnożenia a2 + 2ab + b2.

Dwumian Newtona a permutacje

Dwumian Newtona liczy grupy bez względu na kolejność. Gdy kolejność ma znaczenie, liczba wyników rośnie k! razy, bo każdą wybraną grupę możesz ustawić na k! sposobów:

P(n, k) = C(n, k) · k!

Przykład: trzy osoby z pięciu do komitetu możesz wybrać na C(5, 3) = 10 sposobów. Te same trzy osoby na podium to już P(5, 3) = 10 · 6 = 60 ustawień. Kolejne pojęcia z tej rodziny policzysz w kalkulatorze kombinacji i permutacji.

Do czego się przydaje?

Losowania i gry. W Lotto 6 z 49 jest C(49, 6) = 13 983 816 możliwych wyników, więc jedno skreślenie ma szansę 1 do prawie 14 milionów. W pokerze pięć kart z talii 52 możesz dostać na 2 598 960 sposobów.

Prawdopodobieństwo. Szansę na dokładnie 3 orły w 10 rzutach monetą liczysz tak: C(10, 3) / 210 = 120 / 1024, czyli około 11,7%. Ten schemat to rozkład dwumianowy, podstawa statystyki.

Planowanie i informatyka. Dwumian Newtona mówi, ile zespołów, zestawów testowych albo kombinacji ustawień da się utworzyć z danej puli. W informatyce pomaga ocenić, ile przypadków musi sprawdzić algorytm.

Najczęściej zadawane pytania

Czym jest dwumian Newtona?

Dwumian Newtona, czyli symbol Newtona lub współczynnik dwumianowy, to liczba sposobów, na jakie można wybrać k elementów ze zbioru n elementów, gdy kolejność nie ma znaczenia i elementy się nie powtarzają. Liczy się go wzorem C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!). Czytasz go jako n po k.

Jak obliczyć dwumian Newtona krok po kroku?

Zapisz n po k jako n! / (k! · (n − k)!), a potem skróć to, co się powtarza. Zwykle wystarczy pomnożyć k kolejnych liczb malejących od n i podzielić przez k!. Przykład: C(10, 3) = (10 · 9 · 8) / (3 · 2 · 1) = 720 / 6 = 120. Kalkulator rozpisuje te kroki pod wynikiem.

Czym różni się dwumian Newtona od permutacji?

Dwumian Newtona liczy grupy elementów bez względu na kolejność, a permutacja (wariacja bez powtórzeń) bierze kolejność pod uwagę. Dlatego P(n, k) = C(n, k) · k!. Wybór 3 osób z 5 do komitetu to C(5, 3) = 10, a ustawienie 3 osób z 5 na podium to P(5, 3) = 60.

Co to jest trójkąt Pascala i jak łączy się z dwumianem Newtona?

Trójkąt Pascala to układ liczb, w którym każda liczba jest sumą dwóch liczb stojących nad nią. Wiersz o numerze n zawiera kolejno C(n, 0), C(n, 1), ..., C(n, n). Wynika to z zależności C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k). Całą tabelę znajdziesz na stronie trójkąt Pascala.

Dlaczego C(n, 0) i C(n, n) są równe 1?

Jest dokładnie jeden sposób na niewybranie żadnego elementu (wybierasz zbiór pusty) i dokładnie jeden sposób na wybranie wszystkich n elementów. We wzorze wynika to z tego, że 0! = 1, więc C(n, 0) = n! / (0! · n!) = 1. Te jedynki tworzą brzegi trójkąta Pascala.

Do czego przydaje się dwumian Newtona?

Liczysz nim, ile jest możliwych kombinacji, na przykład w Lotto 6 z 49 jest C(49, 6) = 13 983 816 wyników. Jest też podstawą rozkładu dwumianowego w statystyce i wzoru na rozwinięcie (a + b) do potęgi n, w którym to on daje współczynniki.