Kalkulator równań liniowych
Kalkulator równań liniowych
Układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, z rozwiązaniem krok po kroku
Układ ma postać a₁x + b₁y = c₁ oraz a₂x + b₂y = c₂. Wpisz liczby całkowite, dziesiętne albo ułamki, np. 3/4. Gdy przy niewiadomej nic nie stoi, wpisz 1, a gdy jej brakuje, wpisz 0.
Przykłady
Układ oznaczony
Rozwiązanie krok po kroku
Wpisz współczynniki dwóch równań, np. 2x + 3y = 7 i x − y = 1, a kalkulator od razu poda x i y. Wynik jest dokładny, więc 16/5 zobaczysz jako ułamek, a nie jako 3,2000000000000006.
Pod wynikiem znajdziesz sprawdzenie w obu równaniach, wykres dwóch prostych i kroki rozwiązania trzech metod: podstawiania, przeciwnych współczynników oraz wzorów Cramera. Kalkulator rozpoznaje też układy, które nie mają jednego rozwiązania, i wyjaśnia dlaczego.
Jak korzystać z kalkulatora?
- 1 Sprowadź równania do postaci ax + by = c
Niewiadome zostaw po lewej stronie, a liczby przenieś na prawo. Na przykład x = 2y + 1 zapisz jako x − 2y = 1.
- 2 Wpisz współczynniki
Pola stoją w miejscu współczynników w obu równaniach. Gdy przy niewiadomej nic nie stoi, wpisz 1, a gdy jej brakuje, wpisz 0. Minus wpisujesz razem z liczbą.
- 3 Odczytaj wynik i wybierz metodę
Rozwiązanie pojawia się od razu. Poniżej wybierz metodę, której chcesz się nauczyć, i przeczytaj kolejne kroki z Twoimi liczbami.
Czym jest układ równań liniowych?
Układ równań liniowych to kilka równań pierwszego stopnia, które muszą być spełnione jednocześnie. Przy dwóch niewiadomych szukasz pary liczb x i y, która pasuje do obu równań naraz.
Każde równanie opisuje prostą na płaszczyźnie, a rozwiązanie układu to punkt wspólny obu prostych. Dlatego możliwe są tylko trzy sytuacje: proste się przecinają, pokrywają albo są równoległe.
| Rodzaj układu | Proste | Rozwiązania | Wyznaczniki |
|---|---|---|---|
| Oznaczony | przecinają się | dokładnie jedno | W ≠ 0 |
| Nieoznaczony | pokrywają się | nieskończenie wiele | W = 0, Wx = 0, Wy = 0 |
| Sprzeczny | są równoległe | brak | W = 0, a Wx lub Wy ≠ 0 |
Trzy metody rozwiązywania układu
| Metoda | Na czym polega | Kiedy jest wygodna |
|---|---|---|
| Podstawianie | wyznaczasz jedną niewiadomą z jednego równania i wstawiasz do drugiego | gdy przy jakiejś niewiadomej stoi 1 lub −1 |
| Przeciwne współczynniki | mnożysz równania tak, żeby po dodaniu jedna niewiadoma zniknęła | gdy współczynniki są małymi liczbami całkowitymi |
| Wzory Cramera | liczysz trzy wyznaczniki i dzielisz je przez siebie | gdy chcesz liczyć według stałego schematu |
Wzory Cramera
Dla układu a₁x + b₁y = c₁ i a₂x + b₂y = c₂ liczysz trzy wyznaczniki:
- W = a₁b₂ − a₂b₁, wyznacznik główny,
- Wx = c₁b₂ − c₂b₁, gdzie wyrazy wolne zastępują współczynniki przy x,
- Wy = a₁c₂ − a₂c₁, gdzie wyrazy wolne zastępują współczynniki przy y.
Gdy W ≠ 0, to x = Wx / W oraz y = Wy / W.
Przykład: metoda podstawiania
Układ 2x + 3y = 7 i x − y = 1
- Z drugiego równania wyznaczasz x: x = 1 + y.
- Wstawiasz to do pierwszego: 2(1 + y) + 3y = 7, czyli 5y = 5.
- Stąd y = 1.
- Wracasz do wzoru z kroku 1: x = 1 + 1 = 2.
- Sprawdzasz: 2 · 2 + 3 · 1 = 7 oraz 2 − 1 = 1. Oba równania się zgadzają.
Przykłady do wypróbowania
| Układ | Rodzaj | Rozwiązanie | Kalkulator |
|---|---|---|---|
| 2x + 3y = 7, x − y = 1 | oznaczony | x = 2, y = 1 | Wpisz do kalkulatora |
| x + y = 5, 3x − y = 3 | oznaczony | x = 2, y = 3 | Wpisz do kalkulatora |
| 4x − 2y = 6, −x + 3y = 7 | oznaczony | x = 16/5, y = 17/5 | Wpisz do kalkulatora |
| 2x + 3y = 70, x + y = 30 | oznaczony | x = 20, y = 10 | Wpisz do kalkulatora |
| 2x + 4y = 10, x + 2y = 5 | nieoznaczony | nieskończenie wiele | Wpisz do kalkulatora |
| x + y = 3, x + y = 5 | sprzeczny | brak | Wpisz do kalkulatora |
Zadania tekstowe zapisane jako układ
Układy równań najczęściej pojawiają się w zadaniach, w których szukasz dwóch liczb i znasz dwa warunki. Oznacz szukane liczby przez x i y, a potem zapisz każdy warunek jako równanie.
Bilety do kina
Dwa bilety normalne i trzy ulgowe kosztują razem 70 zł. Po jednym bilecie każdego rodzaju kosztują 30 zł. Ile kosztuje bilet normalny, a ile ulgowy?
Układ to 2x + 3y = 70 oraz x + y = 30. Rozwiązanie: x = 20 zł i y = 10 zł. Wpisz ten przykład do kalkulatora
Podobnie liczysz mieszanki (ile litrów każdego roztworu), zadania o ruchu (dwie prędkości) czy ceny dwóch produktów, gdy znasz koszt dwóch różnych zestawów.
Czego kalkulator nie robi
Kalkulator rozwiązuje układy dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Przy trzech i więcej niewiadomych użyj kalkulatora macierzy, w którym zapiszesz układ jako A · x = b i policzysz macierz odwrotną. Nie rozwiązuje też równań z potęgami, np. x² + y = 4.
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest układ równań liniowych?
Układ równań liniowych to kilka równań pierwszego stopnia z tymi samymi niewiadomymi, które muszą być spełnione jednocześnie. Przy dwóch niewiadomych szukasz pary liczb x i y, która pasuje do obu równań. Na wykresie to punkt przecięcia dwóch prostych.
Ile rozwiązań może mieć układ dwóch równań liniowych?
Jedno, nieskończenie wiele albo żadnego. Jedno, gdy proste się przecinają (układ oznaczony). Nieskończenie wiele, gdy proste się pokrywają (układ nieoznaczony). Żadnego, gdy proste są równoległe (układ sprzeczny).
Kiedy układ równań nie ma rozwiązania?
Gdy proste są równoległe, czyli wyznacznik główny W = a₁b₂ − a₂b₁ jest równy 0, a wyznacznik Wx albo Wy nie jest zerem. Przykład to x + y = 3 i x + y = 5: ta sama suma nie może być jednocześnie równa 3 i 5.
Którą metodę rozwiązywania układu wybrać?
Wynik jest zawsze ten sam, więc liczy się wygoda. Podstawianie jest proste, gdy przy jakiejś niewiadomej stoi 1 lub −1. Przeciwne współczynniki dobrze działają, gdy współczynniki są małymi liczbami całkowitymi. Wzory Cramera są najbardziej mechaniczne i dobrze nadają się do liczenia na kartce według schematu.
Jak sprawdzić rozwiązanie układu równań?
Wstaw obliczone x i y do obu równań wyjściowych. Jeśli lewa strona każdego równania jest równa prawej, rozwiązanie jest poprawne. Kalkulator pokazuje takie sprawdzenie pod wynikiem.
Jak zamienić zadanie tekstowe na układ równań?
Oznacz szukane wielkości przez x i y, a potem zapisz dwa warunki z treści zadania jako równania. Na przykład: 2 bilety normalne i 3 ulgowe kosztują 70 zł, a po jednym biletem każdego rodzaju 30 zł. To układ 2x + 3y = 70 i x + y = 30, z rozwiązaniem x = 20, y = 10.