Kalkulator przekątnej prostokąta

Definicja i właściwości

Przekątna prostokąta to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki figury. Każdy prostokąt ma dokładnie dwie przekątne, które są równej długości i przecinają się w swoim środku. Punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich na dwie równe części.

Przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne. W każdym z tych trójkątów boki prostokąta (a i b) stanowią przyprostokątne, a przekątna pełni rolę przeciwprostokątnej. To bezpośredni związek z twierdzeniem Pitagorasa, który pozwala nam wyznaczyć długość przekątnej.

Warto zauważyć, że równość przekątnych to cecha wyróżniająca prostokąt spośród innych równoległoboków. Na przykład w rombie (który nie jest prostokątem) przekątne mają różne długości.

Wzór na przekątną prostokąta

Wzór ten wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa. Jeżeli poprowadzisz przekątną w prostokącie, otrzymasz trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne mają długości a i b, a przeciwprostokątna (przekątna) ma długość d. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa zachodzi zależność: a² + b² = d², a więc d = √(a² + b²).

Dla kwadratu, czyli szczególnego przypadku prostokąta, gdzie a = b, wzór upraszcza się do d = a√2, ponieważ √(a² + a²) = √(2a²) = a√2.

Jaki jest wzór na przekątną prostokąta?

Wzór na przekątną prostokąta to d = √(a² + b²), gdzie a i b oznaczają długości boków prostokąta. Wzór ten wynika z twierdzenia Pitagorasa - przekątna tworzy z bokami prostokąta trójkąt prostokątny, w którym przyprostokątne mają długości a i b, a przeciwprostokątna to przekątna d. Dla prostokąta o bokach 3 cm i 4 cm przekątna wynosi √(9 + 16) = √25 = 5 cm.

Czy obie przekątne prostokąta mają taką samą długość?

Tak, obie przekątne prostokąta są zawsze równej długości. To jedna z podstawowych właściwości prostokąta. Przekątne przecinają się w swoim środku, dzielą się wzajemnie na połowy i każda z nich dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne. Równość przekątnych można wykorzystać na budowie do sprawdzania, czy wyznaczony prostokąt ma prawidłowe kąty proste.

Jak sprawdzić kąt prosty za pomocą przekątnych?

Na budowie często stosuje się metodę przekątnych do weryfikacji kątów prostych. Jeżeli fundamenty lub ściany tworzą prostokąt, obie przekątne powinny być identycznej długości. Wystarczy zmierzyć obie przekątne - jeśli są równe (z dokładnością do błędu pomiaru), kąty są proste. Popularna jest też metoda trójkąta 3-4-5: odmierzamy 3 metry na jednej ścianie, 4 metry na drugiej, a odległość między końcami powinna wynosić dokładnie 5 metrów.

Co to są trójki pitagorejskie i jaki mają związek z przekątną?

Trójki pitagorejskie to zestawy trzech liczb całkowitych (a, b, c), które spełniają równanie a² + b² = c². Najsłynniejsza trójka to (3, 4, 5). Inne przykłady to (5, 12, 13), (8, 15, 17) i (7, 24, 25). Gdy boki prostokąta odpowiadają dwóm pierwszym liczbom trójki pitagorejskiej, przekątna równa jest trzeciej liczbie i jest wartością całkowitą. Trójki pitagorejskie mają duże znaczenie praktyczne, ponieważ upraszczają obliczenia i pomiary.

Jak obliczyć przekątną ekranu telewizora lub monitora?

Rozmiar ekranów podawany jest w calach i oznacza długość przekątnej. Jeżeli znasz proporcje ekranu (np. 16:9) i długość przekątnej, możesz obliczyć szerokość i wysokość ekranu. Odwrotnie - jeżeli znasz szerokość i wysokość wyświetlacza w centymetrach, użyj wzoru d = √(a² + b²), a następnie przelicz wynik na cale (1 cal = 2,54 cm). Na przykład monitor o wymiarach 53,1 cm × 29,9 cm ma przekątną √(53,1² + 29,9²) = √(2819,6 + 894) = √3713,6 ≈ 60,9 cm, czyli około 24 cali.

Czy przekątna prostokąta jest zawsze dłuższa od jego boków?

Tak, przekątna prostokąta jest zawsze dłuższa od każdego z jego boków. Wynika to bezpośrednio ze wzoru d = √(a² + b²). Ponieważ a² + b² jest zawsze większe zarówno od a², jak i od b² (przy założeniu, że oba boki są dodatnie), to d > a oraz d > b. Innymi słowy, przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest zawsze najdłuższym bokiem tego trójkąta.