Kalkulator statystyczny: średnia, mediana i odchylenie standardowe

Kalkulator statystyczny

Średnia, mediana, odchylenie standardowe i rozkład danych

Twoje dane

Rozpoznane liczby: 10

Oddziel liczby spacją, enterem, średnikiem albo przecinkiem ze spacją. Przecinek bez spacji to część dziesiętna: 2,5.

Te dane to

Próbka Populacja

Część większej grupy, np. 10 uczniów z całej szkoły. Wariancję dzielimy przez n − 1.

Miejsca po przecinku

Średnia arytmetyczna

–

Położenie

Mediana: –
Moda (dominanta): –
Liczba danych n: –
Suma: –

Rozproszenie

Odchylenie standardowe s: –
Wariancja s²: –
Współczynnik zmienności: –
Błąd standardowy średniej: –
Rozstęp: –
Minimum: –
Maksimum: –

Kwartyle

Kwartyl dolny Q1: –
Mediana Q2: –
Kwartyl górny Q3: –
Rozstęp międzykwartylowy: –
Wartości odstające: –

Kształt rozkładu

Skośność: –
Kurtoza: –

Rozkład danych

Dane posortowane

Umieść to narzędzie u siebie: pobierz kod

Wklej liczby, a kalkulator policzy średnią, medianę, modę, odchylenie standardowe, wariancję, kwartyle i kilka innych miar. Wyniki zmieniają się od razu, gdy poprawiasz dane.

Pod wynikami zobaczysz histogram i wykres pudełkowy, które pokazują, jak rozkładają się Twoje dane. Niżej na tej stronie znajdziesz przykład liczony krok po kroku i wzory na wszystkie miary.

Jak korzystać z kalkulatora statystycznego?

1
Wpisz albo wklej dane
Liczby mogą być oddzielone spacjami, enterami, średnikami albo przecinkami ze spacją. Możesz wkleić kolumnę z arkusza kalkulacyjnego. Pod polem widzisz, ile liczb rozpoznał kalkulator.
2
Wybierz próbkę albo populację
Od tego zależą wariancja i odchylenie standardowe. Jeśli Twoje dane to część większej grupy, zostaw „Próbka”.
3
Odczytaj wyniki
Średnia stoi na górze, pod nią miary położenia, rozproszenia, kwartyle i kształt rozkładu. Liczbę miejsc po przecinku zmienisz w formularzu.

Przykład: odchylenie standardowe krok po kroku

Dziesięciu uczniów napisało test i dostało punkty: 75, 82, 90, 68, 77, 85, 92, 88, 79, 84. Traktujemy ich jako próbkę, np. jedną klasę z całego rocznika.

1
Policz średnią
Suma wynosi 820, a liczb jest 10, więc średnia to 820 ÷ 10 = 82,00.
2
Odejmij średnią od każdej liczby i podnieś różnicę do kwadratu
Wyniki są w tabeli poniżej. Suma kwadratów wynosi 492.
3
Podziel sumę kwadratów przez n − 1
492 ÷ 9 = 54,67. To wariancja próbki.
4
Wyciągnij pierwiastek
√54,67 = 7,39. Tyle wynosi odchylenie standardowe próbki.

Odchylenia wyników testu od średniej 82,00 i ich kwadraty
Wynik `x`	`x` − 82	Kwadrat
75	−7	49
82	0	0
90	8	64
68	−14	196
77	−5	25
85	3	9
92	10	100
88	6	36
79	−3	9
84	2	4
Suma	0	492

Gdyby te same wyniki były całą populacją, np. wszystkimi uczniami, którzy pisali test, sumę kwadratów dzielisz przez 10: wariancja wynosi 49,20, a odchylenie standardowe 7,01. Mediana tych danych to 83,00: średnia z dwóch środkowych liczb po posortowaniu, 82 i 84.

Sprawdź w kalkulatorze: wyniki testu 10 uczniów

Podstawowe pojęcia statystyczne

Wszystkie miary, które liczy kalkulator, z krótkim opisem i wzorem. n to liczba danych, x̄ i μ to średnia próbki i populacji, a Σ oznacza sumę po wszystkich liczbach.

Miary położenia

Średnia arytmetyczna

Suma wszystkich liczb podzielona przez ich liczbę. Najczęściej używana miara, ale wrażliwa na wartości skrajne.

x̄ = x₁ + x₂ + … + x_nn

Mediana

Wartość środkowa po posortowaniu danych. Połowa liczb jest od niej mniejsza, połowa większa. Skrajne wartości jej nie przesuwają.

Nieparzyste n: liczba środkowa
Parzyste n: średnia dwóch środkowych

Moda (dominanta)

Wartość, która występuje najczęściej. Może być kilka mód albo żadnej, gdy każda liczba pojawia się tyle samo razy.

Dane 2, 3, 3, 5: moda 3
Dane 1, 2, 3: brak mody

Miary rozproszenia

Wariancja

Średni kwadrat odległości od średniej. Jej jednostką jest kwadrat jednostki danych, np. cm².

s² = Σ(x − x̄)²n − 1σ² = Σ(x − μ)²n

Próbka: s², dzielisz przez n − 1
Populacja: σ², dzielisz przez n

Odchylenie standardowe

Pierwiastek z wariancji. Mówi, o ile przeciętnie liczby odbiegają od średniej, w tych samych jednostkach co dane.

s = √s², σ = √σ²

Współczynnik zmienności

Odchylenie standardowe jako procent średniej. Pozwala porównać rozrzut danych o różnych jednostkach.

V = sx̄ · 100%

Błąd standardowy średniej

Pokazuje, jak bardzo średnia z próbki może się różnić od średniej całej populacji. Maleje, gdy danych przybywa.

SE = s√n

Rozstęp

Różnica między największą a najmniejszą liczbą. Prosty, ale zależy tylko od dwóch wartości skrajnych.

R = x_max − x_min

Kwartyle i kształt rozkładu

Kwartyle

Dzielą posortowane dane na cztery części. Kalkulator liczy je z interpolacją liniową, więc przy małej liczbie danych wynik może się trochę różnić od innych metod.

Q1: 25% danych poniżej
Q2: 50% danych poniżej (mediana)
Q3: 75% danych poniżej

Rozstęp międzykwartylowy

Szerokość środkowej połowy danych. W przeciwieństwie do rozstępu nie zależy od wartości skrajnych.

IQR = Q₃ − Q₁

Wartości odstające

Liczby leżące daleko od reszty danych. Kalkulator stosuje regułę Tukeya i pokazuje je na wykresie pudełkowym jako kółka.

Poniżej: Q₁ − 1,5 · IQR
Powyżej: Q₃ + 1,5 · IQR

Skośność

Mówi, czy rozkład ma dłuższy ogon po jednej stronie. Kalkulator uznaje wartości od −0,5 do 0,5 za prawie symetryczne.

Około 0: rozkład symetryczny
Dodatnia: ogon w prawo
Ujemna: ogon w lewo

Kurtoza

Mówi, jak bardzo dane skupiają się wokół środka i w ogonach. Kalkulator podaje kurtozę nadwyżkową, która dla rozkładu normalnego wynosi 0.

Około 0: jak rozkład normalny
Dodatnia: rozkład wysmukły
Ujemna: rozkład spłaszczony

Zastosowania analizy statystycznej

Badania naukowe: Analiza wyników eksperymentów, testowanie hipotez, sprawdzanie istotności statystycznej.
Biznes i ekonomia: Analiza sprzedaży, prognozowanie trendów, ocena ryzyka inwestycji.
Edukacja: Analiza wyników testów, ocena postępów uczniów, badania edukacyjne.
Medycyna: Analiza danych klinicznych, badania epidemiologiczne, ocena skuteczności leczenia.
Kontrola jakości: Monitorowanie procesów produkcyjnych, wykrywanie odchyleń, metoda Six Sigma.
Sport: Analiza wyników zawodników, statystyki meczowe, przewidywanie wyników.

Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć odchylenie standardowe?

Policz średnią, odejmij ją od każdej liczby i podnieś każdą różnicę do kwadratu. Zsumuj kwadraty i podziel sumę przez n - 1 (dla próbki) albo przez n (dla populacji). Wynik to wariancja, a jej pierwiastek to odchylenie standardowe. Dla wyników testu 75, 82, 90, 68, 77, 85, 92, 88, 79, 84 odchylenie standardowe próbki wynosi 7,39.

Jaka jest różnica między próbką a populacją?

Populacja to cała grupa, którą badasz, a próbka to jej część. Wariancję próbki dzielisz przez n - 1, a populacji przez n. Dzielenie przez n - 1 (poprawka Bessela) wyrównuje to, że próbka zwykle zaniża rozrzut całej populacji.

Kiedy używać średniej, a kiedy mediany?

Średnia dobrze opisuje dane symetryczne, bez wartości odstających. Mediana lepiej sprawdza się przy danych skośnych albo z wartościami odstającymi, bo pojedyncza skrajna liczba jej nie przesuwa. Przykład: przy wynagrodzeniach mediana lepiej oddaje typowe zarobki, bo kilka bardzo wysokich pensji zawyża średnią.

Co oznacza wysokie odchylenie standardowe?

Że dane są mocno rozrzucone wokół średniej. Niskie odchylenie oznacza, że liczby leżą blisko średniej. W rozkładzie normalnym około 68% danych mieści się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej, a około 95% w odległości dwóch odchyleń.

Do czego służy współczynnik zmienności?

Współczynnik zmienności to odchylenie standardowe podzielone przez średnią i wyrażone w procentach. Pozwala porównać rozrzut danych o różnych jednostkach albo bardzo różnych średnich, np. wzrostu w centymetrach i masy w kilogramach. Granice małej i dużej zmienności są umowne i różne źródła podają różne progi. Gdy średnia wynosi 0, współczynnika nie da się policzyć.

Dlaczego mój podręcznik podaje inne kwartyle?

Kwartyle liczy się kilkoma metodami, które przy małej liczbie danych dają trochę różne wyniki. Kalkulator używa interpolacji liniowej: kwartyl dolny leży w jednej czwartej drogi od najmniejszej do największej wartości w posortowanych danych, licząc pozycje od 0 do n - 1. Mediana jest taka sama we wszystkich metodach.

Podsumowanie

Kalkulator statystyczny liczy średnią, medianę, modę, odchylenie standardowe, wariancję, kwartyle, wartości odstające, skośność i kurtozę dla dowolnego zestawu liczb. Wybierz, czy dane to próbka, czy populacja, bo od tego zależy rozrzut. Histogram i wykres pudełkowy pokażą, jak rozkładają się dane, a przykład na tej stronie przeprowadzi Cię przez obliczenia krok po kroku.