Tablice trygonometryczne

Sinus, cosinus, tangens i cotangens dla każdego kąta

Kąty charakterystyczne

Wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla kątów charakterystycznych
Kąt	Radiany	sin	cos	tg	ctg
0°	0	00	11	00	nie istnieje
30°	π/6	1/20,5000	√3/20,8660	√3/30,5774	√31,7321
45°	π/4	√2/20,7071	√2/20,7071	11	11
60°	π/3	√3/20,8660	1/20,5000	√31,7321	√3/30,5774
90°	π/2	11	00	nie istnieje	00
120°	2π/3	√3/20,8660	−1/2−0,5000	−√3−1,7321	−√3/3−0,5774
135°	3π/4	√2/20,7071	−√2/2−0,7071	−1−1	−1−1
150°	5π/6	1/20,5000	−√3/2−0,8660	−√3/3−0,5774	−√3−1,7321
180°	π	00	−1−1	00	nie istnieje
270°	3π/2	−1−1	00	nie istnieje	00
360°	2π	00	11	00	nie istnieje

Pełna tablica od 0 do 90° co 1°

Wartości zaokrąglone do czterech miejsc po przecinku.

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów od 0 do 45 stopni
Kąt	sin	cos	tg	ctg
0°0,0000	0,0000	1,0000	0,0000	nie istnieje
1°0,0175	0,0175	0,9998	0,0175	57,2900
2°0,0349	0,0349	0,9994	0,0349	28,6363
3°0,0524	0,0523	0,9986	0,0524	19,0811
4°0,0698	0,0698	0,9976	0,0699	14,3007
5°0,0873	0,0872	0,9962	0,0875	11,4301
6°0,1047	0,1045	0,9945	0,1051	9,5144
7°0,1222	0,1219	0,9925	0,1228	8,1443
8°0,1396	0,1392	0,9903	0,1405	7,1154
9°0,1571	0,1564	0,9877	0,1584	6,3138
10°0,1745	0,1736	0,9848	0,1763	5,6713
11°0,1920	0,1908	0,9816	0,1944	5,1446
12°0,2094	0,2079	0,9781	0,2126	4,7046
13°0,2269	0,2250	0,9744	0,2309	4,3315
14°0,2443	0,2419	0,9703	0,2493	4,0108
15°0,2618	0,2588	0,9659	0,2679	3,7321
16°0,2793	0,2756	0,9613	0,2867	3,4874
17°0,2967	0,2924	0,9563	0,3057	3,2709
18°0,3142	0,3090	0,9511	0,3249	3,0777
19°0,3316	0,3256	0,9455	0,3443	2,9042
20°0,3491	0,3420	0,9397	0,3640	2,7475
21°0,3665	0,3584	0,9336	0,3839	2,6051
22°0,3840	0,3746	0,9272	0,4040	2,4751
23°0,4014	0,3907	0,9205	0,4245	2,3559
24°0,4189	0,4067	0,9135	0,4452	2,2460
25°0,4363	0,4226	0,9063	0,4663	2,1445
26°0,4538	0,4384	0,8988	0,4877	2,0503
27°0,4712	0,4540	0,8910	0,5095	1,9626
28°0,4887	0,4695	0,8829	0,5317	1,8807
29°0,5061	0,4848	0,8746	0,5543	1,8040
30°0,5236	0,5000	0,8660	0,5774	1,7321
31°0,5411	0,5150	0,8572	0,6009	1,6643
32°0,5585	0,5299	0,8480	0,6249	1,6003
33°0,5760	0,5446	0,8387	0,6494	1,5399
34°0,5934	0,5592	0,8290	0,6745	1,4826
35°0,6109	0,5736	0,8192	0,7002	1,4281
36°0,6283	0,5878	0,8090	0,7265	1,3764
37°0,6458	0,6018	0,7986	0,7536	1,3270
38°0,6632	0,6157	0,7880	0,7813	1,2799
39°0,6807	0,6293	0,7771	0,8098	1,2349
40°0,6981	0,6428	0,7660	0,8391	1,1918
41°0,7156	0,6561	0,7547	0,8693	1,1504
42°0,7330	0,6691	0,7431	0,9004	1,1106
43°0,7505	0,6820	0,7314	0,9325	1,0724
44°0,7679	0,6947	0,7193	0,9657	1,0355
45°0,7854	0,7071	0,7071	1,0000	1,0000

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów od 46 do 90 stopni
Kąt	sin	cos	tg	ctg
46°0,8029	0,7193	0,6947	1,0355	0,9657
47°0,8203	0,7314	0,6820	1,0724	0,9325
48°0,8378	0,7431	0,6691	1,1106	0,9004
49°0,8552	0,7547	0,6561	1,1504	0,8693
50°0,8727	0,7660	0,6428	1,1918	0,8391
51°0,8901	0,7771	0,6293	1,2349	0,8098
52°0,9076	0,7880	0,6157	1,2799	0,7813
53°0,9250	0,7986	0,6018	1,3270	0,7536
54°0,9425	0,8090	0,5878	1,3764	0,7265
55°0,9599	0,8192	0,5736	1,4281	0,7002
56°0,9774	0,8290	0,5592	1,4826	0,6745
57°0,9948	0,8387	0,5446	1,5399	0,6494
58°1,0123	0,8480	0,5299	1,6003	0,6249
59°1,0297	0,8572	0,5150	1,6643	0,6009
60°1,0472	0,8660	0,5000	1,7321	0,5774
61°1,0647	0,8746	0,4848	1,8040	0,5543
62°1,0821	0,8829	0,4695	1,8807	0,5317
63°1,0996	0,8910	0,4540	1,9626	0,5095
64°1,1170	0,8988	0,4384	2,0503	0,4877
65°1,1345	0,9063	0,4226	2,1445	0,4663
66°1,1519	0,9135	0,4067	2,2460	0,4452
67°1,1694	0,9205	0,3907	2,3559	0,4245
68°1,1868	0,9272	0,3746	2,4751	0,4040
69°1,2043	0,9336	0,3584	2,6051	0,3839
70°1,2217	0,9397	0,3420	2,7475	0,3640
71°1,2392	0,9455	0,3256	2,9042	0,3443
72°1,2566	0,9511	0,3090	3,0777	0,3249
73°1,2741	0,9563	0,2924	3,2709	0,3057
74°1,2915	0,9613	0,2756	3,4874	0,2867
75°1,3090	0,9659	0,2588	3,7321	0,2679
76°1,3265	0,9703	0,2419	4,0108	0,2493
77°1,3439	0,9744	0,2250	4,3315	0,2309
78°1,3614	0,9781	0,2079	4,7046	0,2126
79°1,3788	0,9816	0,1908	5,1446	0,1944
80°1,3963	0,9848	0,1736	5,6713	0,1763
81°1,4137	0,9877	0,1564	6,3138	0,1584
82°1,4312	0,9903	0,1392	7,1154	0,1405
83°1,4486	0,9925	0,1219	8,1443	0,1228
84°1,4661	0,9945	0,1045	9,5144	0,1051
85°1,4835	0,9962	0,0872	11,4301	0,0875
86°1,5010	0,9976	0,0698	14,3007	0,0699
87°1,5184	0,9986	0,0523	19,0811	0,0524
88°1,5359	0,9994	0,0349	28,6363	0,0349
89°1,5533	0,9998	0,0175	57,2900	0,0175
90°1,5708	1,0000	0,0000	nie istnieje	0,0000

Tablice trygonometryczne zbierają w jednym miejscu wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Zamiast liczyć, odczytujesz wartość z wiersza z kątem i kolumny z funkcją. Na tej stronie są dwie tablice: kąty charakterystyczne z wartościami dokładnymi i pełna tablica od 0 do 90° co jeden stopień.

Nad tablicami jest panel „Sprawdź kąt”. Wpisz w nim dowolny kąt od 0 do 360°, a zobaczysz go na okręgu jednostkowym razem z wartościami wszystkich czterech funkcji.

Jak czytać tablice trygonometryczne

W pierwszej kolumnie tablicy jest kąt, a w kolejnych wartości funkcji dla tego kąta. Żeby odczytać cos 60°, znajdź wiersz 60° i przejdź do kolumny cos. Stoi tam 1/2, czyli cos 60° = 0,5.

W tablicy kątów charakterystycznych przełącznik „Dokładne” i „Przybliżone” zmienia zapis z pierwiastków na liczby dziesiętne. W pełnej tablicy przełącznik „Stopnie” i „Radiany” zmienia jednostkę w kolumnie kąta. Wartości są zaokrąglone do czterech miejsc po przecinku.

Kąty charakterystyczne

Kąty charakterystyczne to 0°, 30°, 45°, 60° i 90° oraz ich odpowiedniki w kolejnych ćwiartkach, na przykład 120°, 135°, 150°, 180°, 270° i 360°. Ich wartości pojawiają się w zadaniach najczęściej, więc warto je znać na pamięć. Pozwalają też szybko sprawdzić, czy wynik z kalkulatora ma sens.

Sinusy kątów 30°, 45° i 60° łatwo zapamiętać: to √1/2, √2/2 i √3/2, czyli pod pierwiastkiem stoją kolejno 1, 2 i 3. Cosinusy idą w odwrotnej kolejności, więc cos 30° = √3/2, a cos 60° = 1/2. Tangens dostajesz, dzieląc sinus przez cosinus.

tg α = sin α / cos α

ctg α = cos α / sin α = 1 / tg α

sin² α + cos² α = 1

Znaki funkcji w ćwiartkach

To, czy funkcja jest dodatnia, czy ujemna, zależy od ćwiartki, w której leży kąt. Dlatego cos 120° jest ujemny, choć cos 60° jest dodatni. Na okręgu w panelu widać to od razu: cosinus to odcinek poziomy, a sinus pionowy.

Znaki sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w czterech ćwiartkach układu współrzędnych
Ćwiartka	Kąt	sin	cos	tg	ctg
I	od 0° do 90°	+	+	+	+
II	od 90° do 180°	+	−	−	−
III	od 180° do 270°	−	−	+	+
IV	od 270° do 360°	−	+	−	−

W pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie. W drugiej dodatni zostaje tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus. Pozostałe funkcje są w danej ćwiartce ujemne.

Stopnie a radiany

Kąt można podać w stopniach albo w radianach. Pełny obrót to 360°, czyli 2π radianów, więc 180° to π. W szkole podstawowej i na początku liceum częściej używa się stopni, a przy funkcjach, pochodnych i całkach standardem są radiany.

Żeby zamienić stopnie na radiany, pomnóż je przez π i podziel przez 180. W drugą stronę mnożysz radiany przez 180 i dzielisz przez π.

Przykłady zamiany

30° = 30 × π / 180 = π/6 ≈ 0,5236 radiana
45° = π/4 ≈ 0,7854 radiana
60° = π/3 ≈ 1,0472 radiana

Zależności między funkcjami

Najważniejsza zależność to jedynka trygonometryczna: suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta zawsze wynosi 1. Jeśli znasz sinus kąta ostrego, policzysz z niej cosinus, i odwrotnie.

Tangens to sinus podzielony przez cosinus, a cotangens to odwrotność tangensa, więc ich iloczyn dla tego samego kąta wynosi 1. Z tych definicji wynika, gdzie funkcje nie istnieją. Tangens nie istnieje dla 90° i 270°, bo cosinus tych kątów to 0. Cotangens nie istnieje dla 0°, 180° i 360°, bo zero ma tam sinus.

W pełnej tablicy dobrze widać, jak zmieniają się wartości: sinus rośnie od 0 do 1, cosinus maleje od 1 do 0, a tangens rośnie coraz szybciej, gdy kąt zbliża się do 90°.

Najczęściej zadawane pytania

Jak odczytać wartość funkcji z tablic trygonometrycznych?

Znajdź wiersz z kątem i przejdź do kolumny z potrzebną funkcją: sin, cos, tg albo ctg. Liczba na przecięciu to szukana wartość. W wierszu 30° kolumna sin pokazuje 1/2, czyli sin 30° = 0,5. Możesz też wpisać kąt w panelu „Sprawdź kąt”, a wartości pojawią się od razu.

Czym różnią się wartości dokładne od przybliżonych?

Wartość dokładna to zapis z pierwiastkiem albo ułamkiem, na przykład sin 60° = √3/2. Przybliżona to ta sama liczba w postaci dziesiętnej po zaokrągleniu, czyli około 0,8660. W przekształceniach i dowodach używa się postaci dokładnej, a do obliczeń praktycznych wystarcza przybliżenie.

Dlaczego tangens 90° i cotangens 0° nie istnieją?

Tangens to sinus podzielony przez cosinus, a cotangens to cosinus podzielony przez sinus. Cosinus 90° wynosi 0, więc tg 90° wymagałby dzielenia przez zero. Z tego samego powodu nie istnieje ctg 0°, bo sinus 0° to 0. W tablicy takie miejsca oznacza kreska.

Jak zamienić stopnie na radiany?

Pomnóż liczbę stopni przez π i podziel przez 180, bo 180° to π radianów. Na przykład 45° to 45 × π / 180 = π/4, czyli około 0,7854 radiana. W pełnej tablicy możesz przełączyć kolumnę kąta na radiany jednym kliknięciem.

Jak policzyć sinus kąta większego niż 90°?

Sprowadź go do kąta z pierwszej ćwiartki i dodaj właściwy znak. Na przykład 150° to 180° − 30°, więc sin 150° = sin 30° = 1/2, bo w drugiej ćwiartce sinus jest dodatni. Panel „Sprawdź kąt” liczy wartości dla kątów od 0 do 360° i pokazuje kąt na okręgu.

Które wartości warto znać na pamięć?

Wartości dla 0°, 30°, 45°, 60° i 90°. Pojawiają się w zadaniach najczęściej, a z nich i ze znaków w ćwiartkach wyliczysz wartości dla kątów takich jak 120°, 135° czy 150°.

Podsumowanie

Wartości funkcji odczytasz z tablicy kątów charakterystycznych albo z pełnej tablicy od 0 do 90° co 1°. Dla dowolnego kąta do 360° użyj panelu z okręgiem jednostkowym. Zapamiętaj wartości dla 30°, 45° i 60° oraz znaki w ćwiartkach, a wiele innych wartości wyliczysz sam.