Kalkulator macierzy
Kalkulator macierzy
Dodawanie, mnożenie, wyznacznik, macierz odwrotna i transponowana
Macierz A
Macierz B
Na dwóch macierzach
Na macierzy A
Wpisz liczby całkowite, dziesiętne (np. -2,5) albo ułamki (np. 3/4). Wynik policzymy dokładnie.
A × B =
Wpisz dwie macierze o wymiarach od 1×1 do 6×6, wybierz działanie, a wynik pojawi się od razu. Kalkulator dodaje, odejmuje i mnoży macierze oraz liczy wyznacznik, kwadrat, macierz transponowaną i odwrotną.
Liczy dokładnie, więc odwrotność macierzy całkowitej dostajesz w ułamkach, np. 3/5, a nie 0,6. Gdy działanie jest niemożliwe, kalkulator mówi, dlaczego i co zmienić.
Jak korzystać z kalkulatora macierzy?
- 1 Ustaw wymiary
Przy każdej macierzy wybierz liczbę wierszy i kolumn. Wpisane już liczby zostają, gdy zmieniasz rozmiar.
- 2 Wpisz wyrazy
Możesz wpisać liczby całkowite, dziesiętne albo ułamki, np. 3/4. Możesz też kliknąć „Wypełnij losowo”.
- 3 Wybierz działanie
Wynik zmienia się od razu po kliknięciu, a potem na bieżąco, gdy poprawiasz liczby. Nie musisz klikać drugi raz.
- 4 Wybierz zapis wyniku
Wynik możesz pokazać jako ułamki zwykłe albo liczby dziesiętne zaokrąglone do czterech miejsc po przecinku.
Czym jest macierz?
Macierz to prostokątna tablica liczb ułożonych w wiersze i kolumny. Jeśli ma n wierszy i m kolumn, mówimy, że ma wymiary n × m. Pojedynczy wyraz oznaczasz dwoma indeksami: aij stoi w wierszu i i kolumnie j.
Macierz A o wymiarach 2 × 3: dwa wiersze i trzy kolumny.
Macierz, która ma tyle samo wierszy co kolumn, nazywamy kwadratową. Tylko dla takich macierzy istnieje wyznacznik i macierz odwrotna.
Działania na macierzach
| Działanie | Co robi | Warunek |
|---|---|---|
| A + B | dodaje wyrazy stojące na tych samych miejscach | takie same wymiary |
| A − B | odejmuje wyrazy stojące na tych samych miejscach | takie same wymiary |
| A × B | wiersze A mnoży przez kolumny B i sumuje iloczyny | kolumn w A tyle, ile wierszy w B |
| det A | liczy wyznacznik, czyli jedną liczbę opisującą macierz | macierz kwadratowa |
| A² | mnoży macierz przez samą siebie, A · A | macierz kwadratowa |
| Aᵀ | zamienia wiersze w kolumny | bez warunków |
| A⁻¹ | znajduje macierz, dla której A · A⁻¹ = I | macierz kwadratowa o wyznaczniku różnym od 0 |
Jak pomnożyć macierze?
Wyraz wyniku w wierszu i i kolumnie j to suma iloczynów kolejnych wyrazów i-tego wiersza pierwszej macierzy i j-tej kolumny drugiej. Jeśli A ma wymiary n × m, a B m × p, wynik ma wymiary n × p.
Przykład: A × B dla macierzy 2 × 2
- Wiersz 1, kolumna 1: 1 · 2 + 2 · 1 = 4
- Wiersz 1, kolumna 2: 1 · 0 + 2 · 2 = 4
- Wiersz 2, kolumna 1: 3 · 2 + 4 · 1 = 10
- Wiersz 2, kolumna 2: 3 · 0 + 4 · 2 = 8
Kolejność ma znaczenie: B × A daje tu inny wynik, [[2, 4], [7, 10]]. Wpisz ten przykład do kalkulatora
Wyznacznik i macierz odwrotna
Dla macierzy 2 × 2 wyznacznik to różnica iloczynów wyrazów leżących na przekątnych:
det A = a · d − b · c, dla A = [[a, b], [c, d]]
Macierz odwrotna istnieje tylko wtedy, gdy wyznacznik nie jest zerem. Dla 2 × 2 zamieniasz miejscami a i d, zmieniasz znaki przy b i c, a całość dzielisz przez wyznacznik:
A⁻¹ = (1 / det A) · [[d, −b], [−c, a]]
Przykład: A = [[2, 1], [1, 3]]
Wyznacznik: 2 · 3 − 1 · 1 = 5. Macierz odwrotna: (1/5) · [[3, −1], [−1, 2]], czyli wyrazy 3/5, −1/5, −1/5 i 2/5. Sprawdź mnożeniem: A · A⁻¹ daje macierz jednostkową, z jedynkami na przekątnej i zerami poza nią.
Wyznacznik 0 oznacza macierz osobliwą. Dla A = [[1, 2], [2, 4]] drugi wiersz to podwojony pierwszy, więc det A = 1 · 4 − 2 · 2 = 0 i macierzy odwrotnej nie ma.
Przykłady do wypróbowania
| Działanie | Macierz A | Wynik | Kalkulator |
|---|---|---|---|
| Wyznacznik | [[2, 1], [3, 4]] | 2 · 4 − 1 · 3 = 5 | Wpisz do kalkulatora |
| Macierz odwrotna | [[2, 1], [1, 3]] | [[3/5, −1/5], [−1/5, 2/5]] | Wpisz do kalkulatora |
| Transpozycja | [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] | [[1, 4], [2, 5], [3, 6]] | Wpisz do kalkulatora |
| Kwadrat A² | [[1, 1], [0, 1]] | [[1, 2], [0, 1]] | Wpisz do kalkulatora |
| Macierz odwrotna | [[1, 2], [2, 4]] | nie istnieje, bo det A = 0 | Wpisz do kalkulatora |
Przydatne własności
| Własność | Zapis |
|---|---|
| Mnożenie nie jest przemienne | A · B ≠ B · A (zwykle) |
| Mnożenie jest łączne | (A · B) · C = A · (B · C) |
| Transpozycja iloczynu odwraca kolejność | (A · B)ᵀ = Bᵀ · Aᵀ |
| Odwrotność iloczynu odwraca kolejność | (A · B)⁻¹ = B⁻¹ · A⁻¹ |
| Wyznacznik iloczynu | det (A · B) = det A · det B |
| Wyznacznik nie zmienia się przy transpozycji | det Aᵀ = det A |
Do czego służą macierze?
Układy równań. Układ równań liniowych zapisujesz jako A · x = b. Jeśli A ma macierz odwrotną, rozwiązaniem jest x = A⁻¹ · b. Układy równań rozwiążesz też w kalkulatorze równań liniowych.
Grafika komputerowa. Obrót, przesunięcie i skalowanie obiektu to mnożenie jego punktów przez macierze. Kilka przekształceń da się połączyć w jedną macierz, mnożąc je ze sobą.
Dane i uczenie maszynowe. Zbiór danych to zwykle macierz, w której wiersze to obserwacje, a kolumny cechy. Sieci neuronowe w dużej części składają się z mnożenia macierzy.
Ekonomia i inżynieria. Macierze opisują przepływy między branżami w modelu Leontiefa, a także sieci elektryczne i konstrukcje w metodzie elementów skończonych.
Najczęściej zadawane pytania
Co to jest macierz?
Macierz to prostokątna tablica liczb ułożonych w wiersze i kolumny. Macierz o n wierszach i m kolumnach ma wymiary n × m. Macierze służą do zapisu układów równań, przekształceń geometrycznych i dużych zbiorów danych.
Jak mnożyć macierze?
Macierz A (n × m) możesz pomnożyć przez macierz B (m × p), gdy liczba kolumn A jest równa liczbie wierszy B. Wyraz wyniku w wierszu i oraz kolumnie j to suma iloczynów wyrazów i-tego wiersza A i j-tej kolumny B. Wynik ma wymiary n × p. Mnożenie macierzy nie jest przemienne, więc zwykle A × B ≠ B × A.
Kiedy macierz ma macierz odwrotną?
Macierz odwrotną ma tylko macierz kwadratowa o wyznaczniku różnym od zera. Macierz odwrotna A-1 spełnia warunek A · A-1 = A-1 · A = I, gdzie I to macierz jednostkowa. Macierz o wyznaczniku 0 nazywa się osobliwą i nie ma odwrotnej.
Co to jest wyznacznik i do czego służy?
Wyznacznik to liczba przypisana macierzy kwadratowej. Gdy jest różny od zera, macierz ma odwrotną, a układ równań z tą macierzą ma jedno rozwiązanie. Dla macierzy 2 × 2 wartość bezwzględna wyznacznika to pole równoległoboku rozpiętego przez jej kolumny.
Czym jest transpozycja macierzy?
Transpozycja zamienia wiersze macierzy w kolumny. Macierz A o wymiarach n × m zmienia się w macierz AT o wymiarach m × n, a wyraz z miejsca (i, j) trafia na miejsce (j, i).
Dlaczego kalkulator nie chce wykonać działania?
Wynika to z wymiarów macierzy. Dodawanie i odejmowanie wymagają takich samych wymiarów, mnożenie wymaga, by liczba kolumn A była równa liczbie wierszy B, a wyznacznik, kwadrat i macierz odwrotna wymagają macierzy kwadratowej. Kalkulator wskazuje, co zmienić, i podświetla puste albo błędne pole.