Kalkulator pierwiastków online
Kalkulator pierwiastków
Pierwiastek dowolnego stopnia i jego postać uproszczona
3√27 =
3
Wynik jest dokładny, bo 33 = 27.
- Postać uproszczona
- 3
- Zapis jako potęga
- 271/3
- Sprawdzenie
- 33 = 27
Kalkulator liczy pierwiastek dowolnego stopnia: kwadratowy, sześcienny i wyższy. Wpisz stopień i liczbę pod pierwiastkiem, a wynik pojawi się od razu.
Gdy wynik nie jest liczbą całkowitą, kalkulator pokaże postać uproszczoną, na przykład √72 = 6√2, czyli taką, jakiej wymaga się w szkole. Każdy wynik możesz też sprawdzić: obok widać, ile daje on podniesiony z powrotem do potęgi.
Jak korzystać z kalkulatora pierwiastków?
- 1 Wpisz liczbę pod pierwiastkiem
To duże pole pod kreską znaku pierwiastka. Może być całkowita, dziesiętna albo ujemna, z przecinkiem lub kropką.
- 2 Ustaw stopień
To małe pole w zagięciu znaku. Wpisz 2 dla pierwiastka kwadratowego, 3 dla sześciennego albo kliknij jeden z gotowych stopni.
- 3 Odczytaj wynik
Kalkulator napisze, czy wynik jest dokładny, i pokaże postać uproszczoną. Przy przybliżeniach możesz ustawić liczbę miejsc po przecinku, od 0 do 10.
Czym jest pierwiastkowanie?
Pierwiastek n-tego stopnia z liczby a to taka liczba b, która podniesiona do potęgi n daje a:
n√a = b ⟺ bn = a
Pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Przy pierwiastku kwadratowym stopnia 2 się nie zapisuje, więc √a oznacza to samo co 2√a.
Stopień musi być większy od zera. Pierwiastek parzystego stopnia wymaga liczby nieujemnej, bo żadna liczba rzeczywista podniesiona do potęgi parzystej nie daje wyniku ujemnego. Pierwiastek nieparzystego stopnia działa także dla liczb ujemnych: 3√(−8) = −2.
Przykłady pierwiastków
| Pierwiastek | Wynik | Dlaczego |
|---|---|---|
| √9 | 3 | 32 = 9 |
| 3√27 | 3 | 33 = 27 |
| 4√16 | 2 | 24 = 16 |
| 5√32 | 2 | 25 = 32 |
| 3√(−8) | −2 | (−2)3 = −8 |
| √2,25 | 1,5 | 1,52 = 2,25 |
| √2 | ≈ 1,4142 | liczba niewymierna |
Jak uprościć pierwiastek?
Wynik w postaci 8,4853 jest wygodny do obliczeń, ale w szkole zwykle oczekuje się zapisu dokładnego, takiego jak 6√2. Żeby go uzyskać, rozkładasz liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn i szukasz w nim największego pełnego kwadratu (przy pierwiastku sześciennym: sześcianu).
Przykład: √72
72 = 36 × 2, a 36 to kwadrat liczby 6. Dlatego √72 = √36 × √2 = 6√2. W przybliżeniu to 8,4853.
Przykład: 3√54
54 = 27 × 2, a 27 to sześcian liczby 3. Dlatego 3√54 = 3 3√2. W przybliżeniu to 3,7798.
Jeśli liczba całkowita nie jest pełnym kwadratem (sześcianem, czwartą potęgą itd.), jej pierwiastek jest liczbą niewymierną. Ma nieskończenie wiele cyfr po przecinku, które się nie powtarzają, więc kalkulator może podać tylko przybliżenie.
Działania na pierwiastkach
| Działanie | Wzór | Przykład |
|---|---|---|
| Pierwiastek z iloczynu | n√(a × b) = n√a × n√b | √(4 × 9) = 2 × 3 = 6 |
| Pierwiastek z ilorazu | n√(a / b) = n√a / n√b | √(25 / 4) = 5 / 2 |
| Pierwiastek z potęgi | n√(am) = am/n | 3√(26) = 22 = 4 |
| Pierwiastek z pierwiastka | m√(n√a) = m×n√a | √(√16) = 4√16 = 2 |
| Zero i jeden | n√0 = 0, n√1 = 1 | dla każdego stopnia |
Wzory na iloczyn i iloraz działają dla liczb nieujemnych. Przy pierwiastkach nieparzystego stopnia możesz je stosować także do liczb ujemnych.
Pierwiastek z 3
√3 to liczba niewymierna równa w przybliżeniu 1,73205080757. Bywa nazywana stałą Teodora. Często pojawia się w geometrii: tyle wynosi wysokość trójkąta równobocznego o boku 2 i przekątna sześcianu o krawędzi 1.
W zwykłych rachunkach wystarcza 1,732. Przy dłuższych obliczeniach zaokrąglenia z kolejnych kroków się sumują, więc wtedy lepiej wziąć więcej miejsc po przecinku.
Gdzie przydają się pierwiastki
W geometrii pierwiastek wraca przy każdym liczeniu odległości. Przeciwprostokątną trójkąta wyznacza twierdzenie Pitagorasa, czyli c = √(a2 + b2), a przekątna kwadratu o boku 1 ma długość √2.
W fizyce pierwiastek pojawia się tam, gdzie jedna wielkość zależy od kwadratu drugiej. Wartość skuteczna napięcia zmiennego to napięcie szczytowe podzielone przez √2, a okres wahadła rośnie jak pierwiastek z jego długości.
W statystyce odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji. Dzięki temu rozrzut danych wychodzi w tych samych jednostkach co pomiary. W równaniu kwadratowym miejsca zerowe liczy się z pierwiastka z delty, a średnia geometryczna dwóch liczb to pierwiastek z ich iloczynu.
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest pierwiastkowanie?
To działanie odwrotne do potęgowania. Pierwiastek n-tego stopnia z liczby a to taka liczba b, która podniesiona do potęgi n daje a: n√a = b, bo bn = a. Na przykład √25 = 5, bo 52 = 25.
Czy można obliczyć pierwiastek z liczby ujemnej?
Tylko pierwiastek nieparzystego stopnia. 3√(−8) = −2, bo (−2)3 = −8. Pierwiastek parzystego stopnia, na przykład kwadratowy, z liczby ujemnej nie istnieje w liczbach rzeczywistych, bo każda liczba podniesiona do potęgi parzystej daje wynik dodatni lub zero.
Jak uprościć pierwiastek?
Rozłóż liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn, w którym jeden czynnik jest pełnym kwadratem (albo sześcianem przy pierwiastku sześciennym). Ten czynnik wyłączasz przed pierwiastek. Na przykład √72 = √(36 × 2) = 6√2, a 3√54 = 3√(27 × 2) = 33√2. Kalkulator pokazuje taką postać automatycznie.
Jaka jest różnica między pierwiastkiem kwadratowym a sześciennym?
Pierwiastek kwadratowy szuka liczby, która podniesiona do kwadratu da wynik, a sześcienny liczby, która podniesiona do sześcianu da wynik. √9 = 3, bo 32 = 9, a 3√27 = 3, bo 33 = 27.
Jak obliczyć pierwiastek bez kalkulatora?
Przy prostych liczbach wystarczy znać kwadraty i sześciany: √49 = 7, bo 72 = 49. W pozostałych przypadkach pomaga metoda babilońska. Bierzesz dowolne przybliżenie x, liczysz średnią z x i a/x i powtarzasz ten krok, aż wynik przestanie się zmieniać. Każdy pierwiastek możesz też zapisać jako potęgę: n√a = a1/n.
Gdzie w praktyce stosuje się pierwiastki?
Najczęściej przy liczeniu odległości i przekątnych z twierdzenia Pitagorasa. W statystyce pierwiastek z wariancji daje odchylenie standardowe. W fizyce wartość skuteczną napięcia liczy się, dzieląc napięcie szczytowe przez √2, a w równaniu kwadratowym miejsca zerowe wyznacza się z pierwiastka z delty.
Podsumowanie
Pierwiastek n-tego stopnia z liczby a to liczba, która podniesiona do potęgi n daje a. Kalkulator liczy pierwiastki dowolnego stopnia, także z liczb ujemnych przy stopniu nieparzystym, pokazuje postać uproszczoną i pozwala sprawdzić wynik. Działanie odwrotne policzysz w kalkulatorze potęg.