Kalkulator twierdzenia Pitagorasa

Kalkulator twierdzenia Pitagorasa liczy trzeci bok trójkąta prostokątnego z dwóch znanych. Wybierz, którego boku szukasz, i wpisz dwa pozostałe. Wynik pojawi się od razu, razem ze wzorem, do którego kalkulator podstawił Twoje liczby.

Na rysunku zobaczysz trójkąt w skali i kwadraty zbudowane na jego bokach. Pod spodem znajdziesz pole, obwód, kąty ostre i wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną.

Wzór Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi najdłuższego:

a² + b² = c²

a i b to przyprostokątne, c to przeciwprostokątna

Przyprostokątne a i b: Dwa boki, które tworzą kąt prosty.
Przeciwprostokątna c: Bok naprzeciw kąta prostego. Zawsze najdłuższy w trójkącie.

Wzór można zobaczyć. Jeśli na każdym boku zbudujesz kwadrat, to pola dwóch mniejszych kwadratów dają razem pole największego. Dla boków 3, 4 i 5 to 9 + 16 = 25. Tak właśnie rysuje to kalkulator. Związek ten znano już w starożytnej Babilonii, na długo przed Pitagorasem, od którego wziął nazwę.

Jak obliczyć przeciwprostokątną

c = √(a² + b²)

Policzmy przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych 5 cm i 12 cm.

1
Podnieś przyprostokątne do kwadratu
5² = 25 i 12² = 144.
2
Dodaj kwadraty
25 + 144 = 169.
3
Wyciągnij pierwiastek
√169 = 13, więc przeciwprostokątna ma 13 cm.

Sprawdź w kalkulatorze: przyprostokątne 5 i 12 cm

Jak obliczyć przyprostokątną

Gdy znasz przeciwprostokątną i jedną przyprostokątną, zamiast dodawać kwadraty, odejmujesz je:

a = √(c² − b²)

b = √(c² − a²)

Przykład: drabina o długości 5 m stoi 3 m od ściany. Drabina jest przeciwprostokątną, a odległość od ściany przyprostokątną. Drabina sięga na wysokość √(25 − 9) = √16 = 4 m.

Policz wysokość drabiny: drabina 5 m, 3 m od ściany

Trójki pitagorejskie

Zwykle przeciwprostokątna wychodzi z ułamkiem, np. dla boków 1 i 1 to √2, czyli około 1,41. Są jednak trójkąty, w których wszystkie trzy boki są liczbami całkowitymi. Takie trzy liczby to trójka pitagorejska.

Przykładowe trójki pitagorejskie
Boki a, b, c	a² + b²	c²	Kalkulator
3, 4, 5	9 + 16	25	Przelicz: przyprostokątne 3 i 4
5, 12, 13	25 + 144	169	Przelicz: przyprostokątne 5 i 12
8, 15, 17	64 + 225	289	Przelicz: przyprostokątne 8 i 15
7, 24, 25	49 + 576	625	Przelicz: przyprostokątne 7 i 24
20, 21, 29	400 + 441	841	Przelicz: przyprostokątne 20 i 21
9, 40, 41	81 + 1600	1681	Przelicz: przyprostokątne 9 i 40

Każdą trójkę możesz pomnożyć przez tę samą liczbę i dostaniesz kolejną. Z 3, 4, 5 powstaje 6, 8, 10 albo 30, 40, 50.

Jak sprawdzić kąt prosty

Twierdzenie działa też w drugą stronę. Jeśli boki trójkąta spełniają równanie a² + b² = c², to trójkąt ma kąt prosty. Korzysta się z tego na budowie przy wytyczaniu narożników.

1
Odmierz 3 m wzdłuż jednej krawędzi
Zacznij od narożnika i zaznacz punkt.
2
Odmierz 4 m wzdłuż drugiej krawędzi
Od tego samego narożnika, w drugą stronę.
3
Zmierz odległość między punktami
Jeśli wynosi dokładnie 5 m, narożnik ma 90°. Jeśli jest inna, krawędzie trzeba poprawić. Przy mniejszych elementach użyj 30, 40 i 50 cm.

Gdzie przydaje się twierdzenie Pitagorasa

Dach: Długość krokwi wynika z połowy rozpiętości dachu i wysokości kalenicy. Przy połowie rozpiętości 4 m i wysokości 3 m krokiew ma 5 m, bez okapu.
Schody i rampy: Długość biegu schodów albo podjazdu policzysz z jego wysokości i długości w poziomie.
Odległość w linii prostej: Gdy przejdziesz 300 m na wschód i 400 m na północ, od punktu startu dzieli Cię 500 m.
Przekątna prostokąta: Przekątna dzieli prostokąt na dwa trójkąty prostokątne. Do ekranów, ram i fundamentów wygodniejszy będzie kalkulator przekątnej prostokąta.

Najczęściej zadawane pytania

Co mówi twierdzenie Pitagorasa?

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej: a² + b² = c². Przyprostokątne to dwa boki przy kącie prostym, a przeciwprostokątna to najdłuższy bok, leżący naprzeciw tego kąta.

Jak obliczyć przeciwprostokątną?

Podnieś obie przyprostokątne do kwadratu, dodaj wyniki i wyciągnij pierwiastek: c = √(a² + b²). Dla boków 3 i 4 dostajesz √(9 + 16) = √25 = 5.

Jak obliczyć przyprostokątną, gdy znam przeciwprostokątną?

Od kwadratu przeciwprostokątnej odejmij kwadrat znanej przyprostokątnej i wyciągnij pierwiastek: a = √(c² − b²). Dla c = 13 i b = 12 dostajesz √(169 − 144) = √25 = 5. Przeciwprostokątna musi być dłuższa od przyprostokątnej, inaczej taki trójkąt nie istnieje.

Co to są trójki pitagorejskie?

To trzy liczby naturalne, które spełniają równanie a² + b² = c², np. 3, 4, 5 albo 5, 12, 13. Trójkąt o takich bokach jest prostokątny, a wszystkie jego boki są liczbami całkowitymi. Każdą trójkę możesz pomnożyć przez tę samą liczbę: z 3, 4, 5 powstaje 6, 8, 10.

Czy twierdzenie Pitagorasa działa w każdym trójkącie?

Nie, tylko w trójkącie prostokątnym. W innych trójkątach związek między bokami opisuje twierdzenie cosinusów, w którym dochodzi jeszcze kąt między bokami.

Jak sprawdzić, czy trójkąt jest prostokątny?

Podnieś boki do kwadratu i sprawdź, czy suma dwóch mniejszych kwadratów równa się największemu. Boki 6, 8 i 10 dają 36 + 64 = 100, więc trójkąt jest prostokątny. Boki 5, 6 i 8 dają 25 + 36 = 61, a to nie jest 64, więc kąta prostego nie ma.

Podsumowanie

Twierdzenie Pitagorasa wiąże boki trójkąta prostokątnego wzorem a² + b² = c². Przeciwprostokątną liczysz, dodając kwadraty, a przyprostokątną, odejmując je. Kalkulator twierdzenia Pitagorasa zrobi oba obliczenia i pokaże każdy krok.

Wzór działa tylko w trójkącie prostokątnym, więc najpierw upewnij się, że masz kąt 90°.