Kwadraty liczb do 20

Dwadzieścia kafelków - kwadrat każdej liczby od 1 do 20

Wskaż liczbę, aby zobaczyć działanie

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

400

Każdy kafelek pokazuje kwadrat jednej liczby - u góry zapis z drugą potęgą, a pod nim gotowy wynik. Na komputerze najedź myszą na kafelek, aby wyróżnić go i zobaczyć pełne działanie nad siatką. Na telefonie i tablecie dotknij kafelka. Przycisk Drukuj przygotowuje czysty arkusz z samymi kwadratami.

Umieść to narzędzie u siebie: pobierz kod

Kwadraty liczb do 20 to zestawienie drugich potęg liczb od 1 do 20. Każdy kafelek pokazuje jedną liczbę podniesioną do kwadratu - u góry zapis z potęgą, na przykład 9², a pod nim gotowy wynik, czyli 81. Wystarczy znaleźć właściwy kafelek i odczytać liczbę. Tabela przydaje się przy nauce, odrabianiu zadań i jako pomoc, gdy ktoś chwilowo nie pamięta jakiegoś kwadratu.

Kafelki na tej stronie są interaktywne. Po najechaniu na kafelek zostaje on wyróżniony, a nad siatką pojawia się pełne działanie, na przykład 13 × 13 = 169. Dzięki temu od razu widać, skąd bierze się wynik. Tabelę można też wydrukować jednym kliknięciem i powiesić nad biurkiem albo włożyć do zeszytu.

Co to jest kwadrat liczby

Kwadrat liczby to ta liczba pomnożona przez samą siebie. Zamiast pisać 7 × 7, używamy krótszego zapisu z potęgą: 7², który czytamy „siedem do kwadratu" lub „siedem do potęgi drugiej". Mała dwójka u góry nazywa się wykładnikiem i mówi, ile razy mnożymy liczbę przez siebie. W przypadku kwadratu są to dokładnie dwa takie same czynniki.

Nazwa „kwadrat" nie wzięła się przypadkiem. Pochodzi z geometrii: pole kwadratu o boku długości 5 wynosi 5 × 5, czyli 25. Dlatego mówimy, że 25 to kwadrat liczby 5. Ten obraz pomaga zrozumieć działanie - podnoszenie do kwadratu to liczenie, ile małych kwadracików jednostkowych mieści się w kwadracie o danym boku.

n² = n × n
przykład: 7² = 7 × 7 = 49
przykład: 12² = 12 × 12 = 144

Jak czytać tabelę kwadratów krok po kroku

Tabela składa się z dwudziestu kafelków, po jednym dla każdej liczby od 1 do 20. Na każdym kafelku u góry widnieje zapis z drugą potęgą, a pod nim gotowy wynik wyróżniony złotym kolorem. Odczytanie kwadratu sprowadza się do trzech prostych kroków.

1
Znajdź kafelek z potrzebną liczbą
Załóżmy, że chcesz poznać kwadrat liczby 13. Odszukaj na siatce kafelek z napisem 13² u góry. Kafelki są ułożone po kolei, od 1 do 20, więc łatwo je przeglądać.
2
Odczytaj wynik pod notacją
Pod zapisem 13² znajdziesz złotą liczbę 169. To właśnie kwadrat liczby 13, czyli wynik mnożenia 13 × 13.
3
Sprawdź pełne działanie nad siatką
Najedź na kafelek lub go dotknij, a nad kafelkami pojawi się powiększony zapis 13 × 13 = 169. Dzięki temu od razu widzisz, skąd bierze się wynik, i łatwiej go zapamiętasz.

Kwadraty liczb a tabliczka mnożenia

Kwadrat liczby to po prostu mnożenie liczby przez samą siebie, dlatego kwadraty są ściśle związane z tabliczką mnożenia. Jeśli spojrzysz na tabliczkę mnożenia do 100, kwadraty znajdziesz na jej przekątnej: 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 i tak dalej. To dokładnie te liczby: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 i 100.

Oznacza to, że kto dobrze zna tabliczkę mnożenia, ten zna już kwadraty liczb od 1 do 10. Kafelki od 11 do 20 to naturalne rozszerzenie tej wiedzy. Niektóre z nich również warto mieć w pamięci, bo często wracają w zadaniach: 11² = 121, 12² = 144, 15² = 225 oraz 20² = 400. Reszta przychodzi z czasem, w miarę ćwiczeń.

Warto też pamiętać, że kwadrat jest działaniem odwrotnym do pierwiastka kwadratowego. Skoro 14² = 196, to pierwiastek kwadratowy z 196 wynosi 14. Tabela kwadratów bywa więc pomocna również wtedy, gdy chcesz szybko sprawdzić, czy dana liczba jest kwadratem innej liczby, czyli tak zwanym kwadratem doskonałym.

Prawidłowości w tabeli kwadratów

Kwadraty liczb kryją kilka ciekawych zależności, które ułatwiają naukę i pomagają liczyć w pamięci. Gdy je zauważysz, kolejne wyniki przestają być przypadkowym zbiorem liczb do wykucia, a stają się przewidywalnym ciągiem.

Pierwsza i najważniejsza prawidłowość to różnice między kolejnymi kwadratami. Rosną one o kolejne liczby nieparzyste. Od 1 do 4 różnica wynosi 3, od 4 do 9 jest to 5, od 9 do 16 już 7, dalej 9, 11 i tak dalej. To znaczy, że kolejny kwadrat zawsze otrzymasz, dodając do poprzedniego następną liczbę nieparzystą.

Druga przydatna obserwacja dotyczy ostatniej cyfry wyniku. Kwadrat nigdy nie kończy się na 2, 3, 7 ani 8. Liczby kończące się na 5 podniesione do kwadratu zawsze kończą się na 25, na przykład 15² = 225. Z kolei kwadrat liczby zakończonej zerem ma na końcu dwa zera, jak 20² = 400. Takie wzorce pomagają szybko sprawdzić, czy wynik może być poprawny.

Liczba	Działanie	Kwadrat	Różnica do poprzedniego
1	1 × 1	1	-
2	2 × 2	4	3
3	3 × 3	9	5
4	4 × 4	16	7
5	5 × 5	25	9
10	10 × 10	100	19
15	15 × 15	225	29
20	20 × 20	400	39

Gdzie przydają się kwadraty liczb

Kwadraty liczb to jeden z tych tematów, które wracają w matematyce raz po raz. Najprościej spotkasz je w geometrii, przy liczeniu pola kwadratu - jeśli bok ma długość 8, pole wynosi 8², czyli 64. Podobnie liczy się powierzchnie wielu figur i brył, gdzie pojawia się mnożenie boku przez samego siebie.

Kwadraty są też sercem twierdzenia Pitagorasa. W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych równa się kwadratowi przeciwprostokątnej, czyli a² + b² = c². Znajomość kwadratów do 20 na pamięć bardzo przyspiesza takie obliczenia i pozwala szybko rozpoznać znane trójki liczb, na przykład 3, 4 i 5 albo 5, 12 i 13.

Drugie pole zastosowań to pierwiastki kwadratowe i funkcja kwadratowa. Pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do podnoszenia do kwadratu, więc tabela kwadratów ułatwia obliczanie pierwiastków z liczb takich jak 144 czy 361. Z kolei w liceum kwadraty pojawiają się w równaniach i wykresach funkcji kwadratowej, gdzie sprawne liczenie drugiej potęgi oszczędza sporo czasu.

Jak nauczyć się kwadratów liczb

Próba zapamiętania wszystkich dwudziestu wyników naraz zwykle przytłacza. Dużo skuteczniej jest dzielić materiał na mniejsze części i opanowywać je po kolei, od tych najprostszych. Taka kolejność daje szybkie poczucie sukcesu, co buduje pewność siebie i motywację do dalszej nauki.

Dobrze zacząć od kwadratów liczb od 1 do 10, bo pokrywają się one z przekątną tabliczki mnożenia i większość uczniów zna je już z lekcji. Kolejny krok to liczby od 11 do 15, a na końcu od 16 do 20. Przy każdej nowej grupie warto korzystać z prawidłowości różnic - kolejny kwadrat to poprzedni powiększony o następną liczbę nieparzystą.

Przykład planu nauki na dwa tygodnie

Dni 1-3: kwadraty liczb od 1 do 5 - powtórka z tabliczki mnożenia
Dni 4-6: kwadraty liczb od 6 do 10
Dni 7-10: kwadraty liczb od 11 do 15
Dni 11-14: kwadraty liczb od 16 do 20 oraz powtórka całości

Każdego dnia warto poświęcić tylko kilka minut, ale regularnie. Krótkie, częste powtórki dają lepsze efekty niż jedna długa i męcząca sesja raz na jakiś czas.

Tabela kwadratów do wydruku

Wydrukowana tabela to wygodna pomoc do nauki w domu i w szkole. Można ją powiesić nad biurkiem, włożyć do zeszytu albo trzymać w widocznym miejscu, żeby dziecko zerkało na nią mimochodem. Częsty kontakt z kafelkami sprawia, że wyniki zapamiętują się niejako przy okazji, bez specjalnego wysiłku.

Aby pobrać tabelę, kliknij przycisk Drukuj tabelę nad kafelkami. Strona przygotuje czysty arkusz wyłącznie z kwadratami liczb - bez menu, reklam i tekstu - tak żeby zmieścił się na jednej kartce i był dobrze czytelny. Możesz też skorzystać ze skrótu Ctrl+P, a na komputerach Apple Cmd+P. Wydruk dobrze wygląda zarówno w kolorze, jak i w czerni i bieli.

Najczęściej zadawane pytania

Co to jest kwadrat liczby?

Kwadrat liczby to ta liczba pomnożona przez samą siebie. Zapisujemy go za pomocą drugiej potęgi, na przykład 6 do kwadratu to 6 × 6 = 36. Nazwa bierze się z geometrii: pole kwadratu o boku 6 wynosi właśnie 36. W tej tabeli każdy kafelek pokazuje kwadrat jednej liczby od 1 do 20 wraz z gotowym wynikiem.

Jak odczytać wynik z tabeli kwadratów?

Znajdź kafelek z potrzebną liczbą. U góry zobaczysz zapis z drugą potęgą, na przykład 13², a pod nim złoty wynik, czyli 169. Na tej stronie wystarczy najechać na kafelek lub go dotknąć, a nad siatką pojawi się pełne działanie 13 × 13 = 169. Cały zapis jest gotowy, nie trzeba niczego liczyć samodzielnie.

Jak kwadraty liczb wiążą się z tabliczką mnożenia?

Kwadrat liczby to mnożenie liczby przez samą siebie, więc kwadraty do 10 znajdziesz na przekątnej tabliczki mnożenia: 1, 4, 9, 16, 25, aż po 100. Kto dobrze zna tabliczkę mnożenia, ten zna już połowę kwadratów. Kafelki od 11 do 20 to naturalne rozszerzenie tej wiedzy, przydatne w szkole podstawowej oraz w liceum.

Jak szybko zapamiętać kwadraty liczb?

Najlepiej uczyć się partiami i korzystać z prawidłowości. Kwadraty rosną o kolejne liczby nieparzyste: od 1 do 4 różnica wynosi 3, od 4 do 9 jest to 5, dalej 7, 9 i tak dalej. Kwadraty liczb kończących się na 5 zawsze kończą się na 25. Warto też ćwiczyć kwadraty równolegle z tabliczką mnożenia i regularnie zerkać na wydrukowaną tabelę.

Do czego przydają się kwadraty liczb?

Kwadraty pojawiają się w wielu zadaniach. Liczysz nimi pole kwadratu i powierzchnię figur, korzystasz z nich w twierdzeniu Pitagorasa, przy pierwiastkach kwadratowych oraz w funkcji kwadratowej. Znajomość kwadratów do 20 na pamięć przyspiesza obliczenia i pozwala szybciej rozpoznać, czy dana liczba jest kwadratem innej liczby.

Jak wydrukować tabelę kwadratów?

Kliknij przycisk Drukuj tabelę nad kafelkami. Strona przygotuje czysty arkusz wyłącznie z kwadratami liczb, bez menu, reklam i tekstu, tak aby zmieścił się na jednej kartce i był czytelny. Możesz też użyć skrótu Ctrl+P, a na komputerach Apple Cmd+P.