Kalkulator funkcji kwadratowej
Kalkulator funkcji kwadratowej
Delta, wierzchołek, miejsca zerowe i wykres paraboli
a stoi przy x², b przy x, a c to wyraz wolny. Współczynnik a nie może być zerem. Ujemne liczby wpisz z minusem, np. -5.
Znane przykłady
Wierzchołek paraboli
(2,5; −0,25)
Wpisz współczynniki a, b i c funkcji f(x) = ax² + bx + c. Kalkulator policzy deltę, wierzchołek paraboli, miejsca zerowe i punkt przecięcia z osią OY.
Poda też funkcję w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej, a obok narysuje wykres z zaznaczonymi najważniejszymi punktami. Najechanie na punkt pokazuje jego współrzędne.
Jak korzystać z kalkulatora?
- 1 Wpisz a, b i c
Pola stoją w miejscu współczynników w zapisie funkcji. Liczba a jest przy x², b przy x, a c to wyraz wolny. Gdy w zadaniu brakuje którejś części, wpisz 0.
- 2 Pilnuj znaków
Dla f(x) = x² − 5x + 6 wpisz a = 1, b = −5 i c = 6. Minus jest częścią współczynnika, więc wpisujesz go razem z liczbą.
- 3 Odczytaj wynik
Na górze zobaczysz wierzchołek, a pod nim zdanie o delcie i miejscach zerowych oraz tabelę z postaciami funkcji. Parabolę zobaczysz na wykresie obok.
Czym jest funkcja kwadratowa?
Funkcja kwadratowa to funkcja, w której zmienna x występuje najwyżej w drugiej potędze. Zapisujesz ją wzorem f(x) = ax² + bx + c, przy czym a musi być różne od zera. Gdyby a było zerem, zostałoby bx + c, czyli zwykła funkcja liniowa.
f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0
Wykresem jest parabola. Znak współczynnika a mówi, w którą stronę się otwiera: dla a > 0 ramiona idą w górę, a dla a < 0 w dół. Im większa wartość bezwzględna a, tym parabola jest węższa. Współczynnik c to wartość funkcji dla x = 0, więc parabola zawsze przecina oś OY w punkcie (0; c).
Delta i miejsca zerowe
Miejsca zerowe to takie x, dla których f(x) = 0. Ich liczbę mówi delta, którą liczysz ze wzoru Δ = b² − 4ac.
| Delta | Miejsca zerowe | Wzór | Parabola a oś OX |
|---|---|---|---|
| Δ > 0 | dwa różne | x1 = (−b − √Δ) / 2a x2 = (−b + √Δ) / 2a | przecina oś w dwóch punktach |
| Δ = 0 | jedno (podwójne) | x0 = −b / 2a | dotyka osi wierzchołkiem |
| Δ < 0 | brak | nie ma wzoru | nie dotyka osi |
Przy Δ < 0 pierwiastek z delty nie istnieje w liczbach rzeczywistych, więc nie ma czego wstawić do wzoru. Pierwiastki z delty policzysz w kalkulatorze pierwiastków.
Wierzchołek i oś symetrii
Wierzchołek to najniższy punkt paraboli (gdy a > 0) albo najwyższy (gdy a < 0). Jego współrzędne to p = −b / 2a oraz q = −Δ / 4a. Przez punkt p przechodzi oś symetrii, czyli prosta x = p. Obie połowy paraboli są jej lustrzanym odbiciem.
Wartość q jest zarazem najmniejszą albo największą wartością funkcji. To ona odpowiada na pytania typu „jaki jest największy możliwy zysk" albo „jak wysoko doleci piłka".
Przykład: f(x) = x² − 5x + 6
Mamy a = 1, b = −5, c = 6.
- Delta: Δ = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.
- Miejsca zerowe: x1 = (5 − 1) / 2 = 2 i x2 = (5 + 1) / 2 = 3.
- Wierzchołek: p = 5 / 2 = 2,5 oraz q = −1 / 4 = −0,25.
- Przecięcie z osią OY: (0; 6).
Przykłady obliczeń
| Funkcja | Delta | Wierzchołek (p; q) | Miejsca zerowe | Kalkulator |
|---|---|---|---|---|
| x² − 5x + 6 | 1 | (2,5; −0,25) | x₁ = 2, x₂ = 3 | Wpisz do kalkulatora |
| x² − 6x + 9 | 0 | (3; 0) | x₀ = 3 | Wpisz do kalkulatora |
| 2x² + 4x + 5 | −24 | (−1; 3) | brak | Wpisz do kalkulatora |
| −x² + 4x − 3 | 4 | (2; 1) | x₁ = 1, x₂ = 3 | Wpisz do kalkulatora |
| x² − 4 | 16 | (0; −4) | x₁ = −2, x₂ = 2 | Wpisz do kalkulatora |
Trzy postacie funkcji kwadratowej
Tę samą funkcję możesz zapisać na trzy sposoby. Każdy z nich pokazuje co innego, a kalkulator podaje je wszystkie.
| Postać | Wzór | Co od razu widać |
|---|---|---|
| Ogólna | f(x) = ax² + bx + c | wartość c i łatwe liczenie f(x) dla danego x |
| Kanoniczna | f(x) = a(x − p)² + q | wierzchołek (p; q) |
| Iloczynowa | f(x) = a(x − x1)(x − x2) | miejsca zerowe, o ile Δ ≥ 0 |
Dla f(x) = x² − 5x + 6 postać kanoniczna to (x − 2,5)² − 0,25, a iloczynowa (x − 2)(x − 3). Po wymnożeniu każda z nich wraca do postaci ogólnej.
Gdzie spotkasz funkcję kwadratową?
Fizyka. Tor ciała rzuconego ukośnie (bez oporu powietrza) jest parabolą. Wierzchołek to najwyższy punkt lotu, a miejsca zerowe to start i lądowanie.
Ekonomia. Zysk często modeluje się jako funkcję kwadratową ceny albo wielkości produkcji. Wierzchołek wskazuje wtedy cenę, przy której zysk jest największy.
Geometria i technika. Pole prostokąta o stałym obwodzie zależy kwadratowo od długości boku. Parabolę mają też przekroje anten satelitarnych i reflektorów.
Najczęściej zadawane pytania
Co to jest funkcja kwadratowa?
Funkcja kwadratowa ma wzór f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b i c to liczby, a a nie jest zerem. Jej wykresem jest parabola. Gdy a jest dodatnie, ramiona paraboli skierowane są w górę, a gdy ujemne, w dół.
Jak obliczyć deltę funkcji kwadratowej?
Deltę liczysz ze wzoru Δ = b² − 4ac. Dla f(x) = x² − 5x + 6 masz a = 1, b = −5, c = 6, więc Δ = 25 − 24 = 1. Gdy Δ > 0, funkcja ma dwa miejsca zerowe, gdy Δ = 0 ma jedno, a gdy Δ < 0 nie ma ich wcale.
Jak obliczyć wierzchołek paraboli?
Wierzchołek ma współrzędne (p; q), gdzie p = −b / (2a) oraz q = −Δ / (4a). Dla f(x) = x² − 5x + 6 wierzchołek to (2,5; −0,25). Przez p przechodzi oś symetrii paraboli, czyli prosta x = p.
Ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa?
Funkcja kwadratowa ma zero, jedno albo dwa miejsca zerowe, zależnie od delty. Dla Δ > 0 są dwa różne, dla Δ = 0 jedno podwójne, a dla Δ < 0 parabola nie przecina osi OX.
Co zrobić, gdy a = 0?
Przy a = 0 wzór sprowadza się do f(x) = bx + c, czyli funkcji liniowej. Nie ma wtedy paraboli, delty ani wierzchołka. Kalkulator prosi o inną wartość a, bo takiego przypadku nie da się policzyć jako funkcji kwadratowej. Równanie bx + c = 0 rozwiążesz w kalkulatorze równań liniowych.
Czym różnią się postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa?
To trzy zapisy tej samej funkcji. Postać ogólna f(x) = ax² + bx + c ułatwia liczenie wartości, kanoniczna f(x) = a(x − p)² + q pokazuje wierzchołek, a iloczynowa f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) pokazuje miejsca zerowe. Iloczynowa istnieje tylko wtedy, gdy Δ ≥ 0.